Завдання з теми: "Рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь"

Завдання.

1.  Записати многочлен у стандартному вигляді:

a)                    2x² - x + 3- 4x⁴ + 8x³; 

b)                   -x² -2x ³+ 3- 4x⁴ + 5х;

c)                    x⁴ + 8x² - x² - 4x⁴ + 8x³; 

d)                   (2x² -x )(3- 4x²)+ 8x³.  

2. Записати приклади  трьох многочленів, які можуть бути:

  а) біквадратними;  

б) симетричними;      

в) звортними;  

г) рівними:

3. Записати приклади  трьох многочленів, які можуть мати:  

а) нульовий корінь; 

б)одиничний корінь;

 в) два коренів з різними знаками корінь;

г) три корені: -1; 0; 1.

ґ) чотири корені: -2; -1; 1; 2.

4. Записати многочлен у стандартоному вигляді:

a)                    (2 - x)(х + 3)(х- 1)(x + 1); 

b)                   (4 + x)(х + 3)(х- 4)(x - 3); 

c)                    (х- 1)(x ³+ 3- 4x² + 5х);

d)                   (х² + 4x + 4)(x² - 4x + 4); 

e)                    (x²  - x )( х - x²) + 8x³.  

5. Використовуючи формули скороченого множення, розв'яжіть рівняння:    

а)    x⁴ - (25 - x²)² = 0;              

          x⁴ - (16 - x²)² = 0;             

               x⁴ - (49- x²)² = 0;

б)   (x – 5)⁴ - (25 - x²)² = 0;

                 (x –4)⁴ - (16 - x²)² = 0;    

                          (x – 7)⁴ - (49- x²)²=0;

в)   x⁴ - (36 - x)² = 0;

              x⁴ - (81- x)² = 0; 

                           x⁴ - (64- x)² = 0;

г)  x² - (36 - x)² = 0;

              x² - (1- x)² = 0; 

                     x² - (4- x)² = 0;

ґ)   64 + n³ = 0; 

                    125 + n³ = 0;  

                               216 - n³ = 0.

6. Установіть відповідність між числами та  числовими множинами, якщо l - натуральне число 

1. Число  (18l+ 36):2  належить множині  ….  А)   ірраціональних чисел

2.  Число (9l - 90):9  належить множині  ….     Б)  раціональних чисел

3.  Число  ⁹/_l + ^l/₉  належить множині  ….          В)  цілих чисел

4.  Число l×3^0,5 - 4 належить множині  ….           Г)  натуральних чисел

5.   Число 12l+ 6  належить множині  ….          Д)   парних чисел

                                                                                 Е)  простих чисел

7. Установіть відповідність між цілими числами та їхніми властивостями, якщо µ - остання цифра натурального числа 

1. Число вигляду  87µ ділиться націло на 9, якщо  µ =…            А)  0

2.  Число вигляду  34µ  ділиться націло на 6, якщо  µ =…            Б) 7

3.  Число вигляду  25µ  ділиться націло на 5, якщо  µ =…            В) 3

4.  Число вигляду  84µ  ділиться націло на   15, якщо  µ =…       Г) 2

5.   Число вигляду  29µ  ділиться націло на 11, якщо  µ =…        Д) 5 

                                                                                                             Е) 9

8. Установіть відповідність між цілими числами та їхніми властивостями, якщо a- ціле число 

1. Число вигляду  87a+111 ділиться націло на …                       А)  a-1

2.  Число вигляду  (5a+15) (2a+4) ділиться націло на  …       Б) a-3

3.  Число вигляду   a³ - a ділиться націло на …                       В)  a²+5a+6

4.  Число вигляду   a²-5a+6   ділиться націло на  …              Г) 29a+37

5.   Число вигляду a⁴-5a²+4  ділиться націло на  …                  Д)  3a+1

                                                                                                           Е) a²-a-2

9. Установіть відповідність між числовими виразами та їхніми значеннями.

1. -0,36 ×(-⁵/₆): (4,59:4,5 + 1,98)      А)    6

2.  -0,64×(-⁵/₈): (1,53×1,5 - 0,22)        Б)   0,5

3.  3,6 ×(-1²/₃)²: –(4¹/₃: 2¹/₆)²             В)  0,1

4.  (-2)³×(-1²/₃)²:(5³/₄ -3,25)               Г)  2

5.   (-0,5)² ×(-1¹/₄):(3³/₄ -4)                Д)  4

                                                                         Е)  0,04

10. Установіть відповідність між виразами та їхніми значеннями.

1.      Половину від  третини   ¹/₆                                А)   ¹/₁₆                                 

2.       Чверть  від півтретини   ¹/₂₄                              Б)   ⁹/₄                                 

3.       Половину від  півтора   ³/₄                                  В)  ¹/₂₄                             

4.        Половину від  півчверті   ¹/₁₆                             Г)  ³/₂                                 

5.        Півтора від  півтора   ⁹/₄                                      Д)  ¹/₆                                 

                                                                                             Е)  ³/₄                                 

11. Установіть відповідність між періодичними дробами та їхніми  звичайними дробами.

1.      0,(2)                                                   А)   ¹/₁₅₀                                 

2.      0,(3)                                                    Б)   ¹/₄                                 

3.       0,0(4)                                                   В)  ²/₄₅                             

4.        0,0(27)                                                   Г)  ²/₉                                 

5.        0,00(6)                                                   Д)  ¹/₃                                

                                                                            Е)  ⁵/₁₈                                 

12. Установіть відповідність між виразами та їхніми  періодичними дробами.

1.    2⁶/₁₁                   А)   2,4(8)

2.    2²²/₄₅                   Б)   2,(54)

3.      2²²/₂₂₅             В)  2,(0022)

4.      2²/₉₀₉               Г) 2,09(7)

5.      2¹/₁₈₀               Д) 2,00(6)

                                       Е)  2,00(5)                                            

13. Установіть відповідність між виразами та їхніми  повним  квадратом.

1.(n - 7)(n + 1)(n + 7)(n - 1) + 576;   А) (n²-17)² 

2. (n- 2)(n + 1)n(n - 1) + 1;                Б) (n²-10)²

3. (n - 3)(n + 1)(n + 3)(n - 1) + 16;    В) (n²-25)²

4. (n - 4)(n + 2)(n + 4)(n - 2) + 36;     Г) (n²-n-1)²

5. (n - 5)(n + 3)(n + 5)(n - 3) + 64;     Д) (n²-25)²

                                                             Е) (n²-36) ²

14.Установіть відповідність між степенями  та їхніми результатами обчислення. 

1.	Нульовий степінь числа  (-3)-3	А)	3
2.	Квадрат числа   - (-3)3	Б)	9
3.	Куб числа      -(-1/3) -1	В)	729
4.	Четвертий степінь   - (1/3) -0,5	Г)	27
5.	Кубічний корінь    -(-3)3	Д)	81
		Е)	1

15.Установіть відповідність між натуральними числами  та їхньою  кількістю дільників. 

1.	Кількість дільників числа   24	А)	5
2.	Кількість дільників числа   81	Б)	8
3.	Кількість дільників числа   48	В)	10
4.	Кількість дільників числа   36	Г)	4
5.	Кількість дільників числа   60	Д)	12
		Е)	9

16. Знайдіть різницю між найменшим спільним кратним і найбільшим спільним дільником чисел 252 і 468:

А	Б	В	Г	Д
3240	2928	3216	5210	2340

Історична довідка про рівняння. 

Значний внесок у розвиток теорії розв'язування рівнянь зроби­ли математики середньовічного Сходу, які писали арабською мовою. Насамперед тут слід назвати узбецького вченого Мухаммеда ібн-Мусу ал-Хорезмі (ЇХ ст.) та таджицького математика й поета Омара Хайяма (1048–1131). Зокрема, саме слово «алгебра» виникло в зв'язку із заголовком книги ал-Хорезмі «Ал-джебр ал-мукабала». У цій книзі ал-Хорезмі обмежується лінійними та квадратними рівняннями. Проте в трактаті Омара Хайяма «Про доведення задач алгебри і ал-мукабали» знаходимо вже строгу класифікацію всіх рівнянь до третього степеня включно. Більше того, згаданий трактат – перший в історії науки твір, де алгеб­ра розглядається як самостійна математична дисципліна, що має загальнотеоретичне значення.

Зауважимо, що згадані вище дослідження вавілонських, єгипетських, грецьких, індуських та середньоазіатських математиків зовсім не торкалися рівнянь, степінь яких перевищував третій.

У цих самих межах залишалися дослідження середньовічних західноєвропейських алгебраїстів та алгебраїстів епохи Відродження. Тут можна назвати імена Італійських математиків Леонардо Пізанського (Фібоначчі) (XIII ст.) та Луки Пачолі (XIV ст.), у яких зустрічаються оригінальні методи розв'язування рівнянь та початки сучасної алгебраїчної символіки.

Лише в XVI ст. були знайдені методи розв'язування рівнянь третього та четвертого степенів; тут слід назвати імена італійців С. Ферро (1465–1526), Н. Тарталья (1500–1557), Дж. Кардано (1501–1526) та Л. Феррарі (1522–1565). Зокрема, у праці Дж. Кардано «Велике мистецтво, або про правила алгебри» (1545) викладено повну теорію розв'язування кубічного рівняння

х³ + ах²+ bх + с = 0

і подано спосіб розв'язування рівняння четвер­того степеня виду

х⁴+ ах² + bх + с=0.

Значний вклад в розвиток науки про рівняння зробив французький математик Ф. Вієта (1540 – 1605), який фактично є твор­цем алгебраїчної символіки.

Важливим відкриттям Ф. Вієта є також залежність між коефі­цієнтами рівнянь і його коренями (формули Вієта).

У XVII та XVIII ст. відбулася інтенсивна розробка загальної теорії рівнянь, у якій взяли участь найвидатніші вчені того часу: Р. Декарт (1596–1650), І. Ньютон (1643-1727), Ж. Дaламбер (1717–1783) та Ж. Лагранж (1736–1813). Було завершено ство­рення майже сучасної алгебраїчної символіки. Центральною на той час стала проблема знаходження формул, які подавали б корені рівнянь п'ятого і вищих степенів через коефіцієнти цих рівнянь за допомогою радикалів (можливо, й дуже «багатоповер­хових»). Доведення неможливості знайти такі формули в 1799 р. дав італійський учений П. Руффіні (1765–1822). Його доведення, проте, було не досить строгим. У 1826 р. норвезький математик Н. Абель (1802–1829), незалежно від Руффіні, строго довів цей факт.

Відповідна теорема (теорема Руффіні – Абеля) стверджує, що рівняння загального виду, степінь якого вищий за четвертий, не­можливо розв'язати в радикалах; проте ця теорема не виключає можливості розв'язання в радикалах окремих класів таких рів­нянь. Широкий клас рівнянь, які допускають розв'язання в ради­калах, вказав Абель.

Залишалося ще розв'язати питання про те, за яких умов дане рівняння окремого виду може бути розв'язане в радикалах.

Це питання було повністю розв'язане завдяки дослідженням французького математика Е. Галуа (1811–1832). Ці дослідження привели його до поняття про групу, яке відіграє сьогодні фунда­ментальну роль у всіх галузях математики та її численних засто­суваннях.

Зауважимо, що відсутність формул для розв'язування рівнянь вищих степенів не слід вважати дуже прикрою обставиною – на­віть у випадку рівнянь третього та четвертого степеня, де такі формули існують, вони дуже громіздкі і практично майже не за­стосовні. Крім того, коефіцієнти більшості рівнянь, які доводить­ся розв'язувати фізикам чи інженерам, є звичайно величинами, знайденими в результаті вимірювань, тобто наближеними, а тому й корені потрібно знати лише наближено, із заданою точністю. Це дало поштовх до розробки різних методів наближеного розв'я­зування рівнянь.

З появою електронної обчислювальної техніки(ЕОМ) роль таких методів особливо зросла, оскільки завдяки їм вдалося істотно розширити клас задач, розв'язуваних за допомогою ЕОМ.

Таким чином, центральним у теорії розв'язування рівнянь є не питання про практичну можливість відшукання коренів, а не питан­ня про їх існування. Відомо, що існують навіть квадратні рівняння з дійсними коефіцієнтами, які не мають дійсних коренів. Попов­нюючи запас чисел до сукупності всіх комплексних чисел, ми ба­чимо, що квадратні рівняння, а також рівняння третього та четвертого степеня, вже обов'язково мають корені – це випливає з існування формул для їх розв'язування.

Виникає, проте, запитання: чи не знайдеться таке рівняння п'ятого чи вищого степеня, яке не має жодного кореня навіть се­ред комплексних чисел і чи не доведеться для відшукання коренів таких рівнянь переходити від комплексних чисел до якоїсь шир­шої їх сукупності?

Відповідь на це запитання дає так звана основна теорема ал­гебри, згідно з якою кожне рівняння з довільними числовими кое­фіцієнтами, не лише дійсними, а й комплексними, має комплексні (можливо, зокрема, й дісні) корені, причому коренів цих стільки, який степінь рівняння. Цю теорему у 1799 р. довів видатний німецький математик К. Гаусс(1777–1855). За­кінчуючи короткий огляд історії розвитку теорії розв'язування рівнянь, яка є предметом пропонованої книжки, зауважимо, що ця теорія є лише складовою частиною великої, дуже розгалуженої алгебраїчної науки,  яка, образно кажучи, стала мовою сучасної математики, постійно розвивається і знаходить численні застосу­вання у квантовій механіці, у фізиці кристалів, в економіці, при конструюванні сучасних ЕОМ та інших галузях науки й вироб­ництва.