Квадратні нерівності. Метод Інтервалів.

 Квадратні нерівності

Розв’язування квадратної нерівності.

Розв’язування квадратної нерівності доцільно проводити так:

1. Знаходимо корені квадратного тричлена ах² + bх + с (якщо вони існують);

2. Якщо знак нерівності > або <, то корені квадратного тричлена позначаємо на осі х «виколотими» точками (вони не будуть входити до множини розв’язків); якщо знак нерівності ≥ або ≤, то корені квадратного тричлена позначаємо точками, які будуть входити до множини розв’язків нерівності;

3. Схематично зобразимо графік функції у = ах² + bх + с, який є параболою, враховуючи напрям віток: при а > 0, вітки напрямлені вгору, а при а < 0 - вниз та точки її перетину з віссю х (якщо вони існують);

4. Знаходимо на осі х проміжки. На яких функція у = ах² + bх + с задовольняє дану нерівність;

5. Записуємо відповідь.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність: 

Розв’язання. 1) Рівняння х² - Зх - 4 = 0 має корені х₁ = -1 і х = 4. Оскільки знак нерівності ≥, зображуємо ці корені точками на осі х (вони входять до множини розв’язків). Схематично зображуємо графік функції у = х² - Зх - 4. Це парабола, вітки якої напрямлені вгору, що перетинає вісь х у точках -1 і 3 (мал. 29). Нерівність х² - Зх - 4 ≥ 0 виконується,якщо х ≤ -1 або х ≥ 4. Відповідь можна записати у вигляді об єднання проміжків 

2) Рівняння -2х² - Зх + 5 = 0 має корені х₁ = -2,5 і х = 1. Оскільки знак нерівності <, зображуємо ці корені «виколотими» точками на осі х (вони не будуть входити до множини розв’язків). Схематично зображуємо графік функції у = -2х² - Зх + 5. Це парабола, вітки якої напрямлені вниз, що перетинає вісь х у точках х = -2,5 і х = 1 (мал. 30).

Нерівність -2х² - Зх + 5 > 0 виконується, якщо -2,5 < х < 1. Відповідь можна записати у вигляді проміжку (-2,5;1).

Приклад 2. Розв’яжіть нерівність х² - 4х + 4 > 0.

Розв’язання. х² - 4х + х = 0; х = 2. Оскільки знак нерівності >, то зображуємо точку 2 «виколотою» на осі х. Схематично зображуємо графік функції у = х² - 4х + 4 (мал. 31). Це парабола, вітки якої напрямлені вгору, що має з віссю абсцис одну спільну точку 2 (кажуть, що парабола дотинається до осі х). Функція набуває додатніх значень при будь-якому значенні х, крім 2. Множиною розв’язків нерівності є об’єднання проміжків 

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність: 

Розв’язання. 1) Рівняння -х² + 2х - 5 = 0 коренів не має 

Графіком функції у = -х² + 2х - 5 є парабола, вітки якої напрямлені вниз, і яка не перетинає вісь х (мал. 32). Оскільки всі точки параболи розміщені нижче осі х, то множиною розв’язків нерівності -х² + 2х – 5 < 0 є множина всіх дійсних чисел, тобто (-∞;+∞).

2) Міркуємо спочатку аналогічно попередній нерівності. Але оскільки жодна з точок параболи не розміщена вище осі х і не належить цій осі, то нерівність -х² + 2х - 5 ≥ 0 не має розв’язків.

Нехай потрібно розв’язати нерівність  (аналогічні міркування проводяться при розв’язуванні нерівностей   ). У залежності від знака дискримінанта квадратного тричлена  потрібно розглянути два випадки:

1) Якщо , а старший коефіцієнт а додатний, то при всіх значеннях х виконується нерівність .

2) Якщо , то для розв’язання нерівності  потрібно розкласти квадратний тричлен  на множники за формулою , потім поділити обидві частини нерівності  на число а, зберігши знак нерівності, якщо , і змінивши знак нерівності на додатний, якщо , і перейти до нерівності .

Приклад 7. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Розв’язавши квадратне рівняння , одержимо корені . Тоді квадратний тричлен розкладеться на такі множники: .

Звідси, 

 

Відповідь: 

> solve({x^2-5*x+6>0},{x});

Квадратні нерівності, а також нерівності вищих степенів можна розв’язувати методом інтервалів (методом проміжків). В його основі лежить така властивість двочлена : точка  ділить числову вісь на дві частини – праворуч від точки ? двочлен , а ліворуч від точки ? .

Приклад 8. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Многочлен  перетворюється в нуль у точках  Ці точки розбивають координатну пряму на проміжки ( 1),

(1; 3), (3; ), усередині кожного з яких функція  зберігає знак.

Оскільки в проміжку (3; ) співмножники   додатні, то їхній добуток додатний, тобто . Відзначимо проміжок (3; ) знаком “+”. Далі знаки в проміжках чергуються. Проводимо через визначені точки “криву знаків”. На тих проміжках, де ставиться знак “+”, виконується нерівність ; на тих проміжках, де знак “– “, виконується нерівність . Отже, розв’язком початкової нерівності є об’єднанням проміжків: ( 1), (3; ).

Відповідь: ( 1)(3; ).

Приклад 9. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Якщо прирівняти до нуля многочлен , то дискримінант виявиться від’ємним. А це означає, що квадратний тричлен додатний при всіх дійсних значеннях змінної х, тому при  нерівність розв’язків не має.

Відповідь: нерівність розв’язків не має.

Приклад 10. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Многочлен  є невід’ємним при будь-якому дійсному значенні змінної х, томунерівність  справджується при всіх дійсних значеннях змінної х, крім 4.

Відповідь: 

> factor(x^2-8*x+16>0);

> solve({x^2-8*x+16>0},{x});

Приклад 11. Розв’язати нерівність .

Розв’язання

Многочлен  перетворюється в нуль в точках   . Ці точки розбивають координатну пряму на чотири проміжки. Оскільки даний многочлен містить множник у парному степені – це , то при переході «змійки» через “0” знак не буде змінюватись. Зазначимо, що точка  входить у множину розв’язків, тому що при  дістаємо .

Відповідь:   .

Приклад 12. Розв’язати нерівність 

Розв’язання

Наносимо точки 6; 2; 0; –1; –5 на числову вісь. Відзначимо точки  і , при переході через них «змійки» знаки не будуть змінюватись. За допомогою «кривої знаків» дістаємо розв’язки, які позначені на рисунку зі знаком «+».

     Відповідь:    .