Нерівності

Нерівності

Нерівністю зі змінною (невідомим) називають два вирази зі змінною (невідомим), між якими стоїть один із знаків нерівності:

> (більше),
< (менше),
≥ (більше або дорівнює; не менше),
≤ (менше або дорівнює; не більше).

Наприклад,

- нерівності.

Розв’язком нерівності називають значення змінної, яке перетворює його в правильну числову нерівність.
Наприклад, число 2 – розв’язок нерівності x + 3 > 4.

Розв’язування нерівностей

Розв’язати нерівність з однією змінною означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.
Нижче в таблиці наведено деякі числові підмножини, їх позначення, зображення на координатній прямій і запис у вигляді нерівності.

Назва	Позначення	Зображення	Запис у вигляді нерівності
Числова пряма R	(-∞; +∞), R		-∞ < x < +∞
Замкнутий проміжок (відрізок)	[a; b]		a ≤ x ≤ b
Відкритий проміжок (відрізок)	(a; b)		a < x < b
Напіввідкритий проміжок	[a; b)		a ≤ x < b
Напіввідкритий проміжок	(a; b]		a < x ≤ b
Нескінченний проміжок (промінь)	(-∞; a)		x < a
Нескінченний проміжок (промінь)	(-∞; a]		x ≤ a
Нескінченний проміжок (промінь)	(a; +∞)		x > a
Нескінченний проміжок (промінь)	[a; +∞)		x ≥ a

Розв’язування нерівностей, як правило, зводиться до зміни даної нерівності нерівністю, яка їй рівносильна.

Рівносильні нерівності

Нерівності, які мають одні й ті самі розв’язки, називають рівносильними. Нерівності, які не мають розв’язків, також вважають рівносильними.

Нерівності мають такі властивості:

1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в другу доданок з протилежним знаком, то одержимо рівносильну їй нерівність.
   Наприклад, нерівність x + 2 > 3 рівносильна нерівності x + 2 - 2 > 3 - 2, тобто x > 1.
2. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то одержимо рівносильну їй нерівність.
   
   Наприклад,
   
   рівносильна нерівності
   
   тобто x > 6.
3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то одержимо рівносильну їй нерівність.
   Наприклад, нерівність -2x < 10 рівносильна нерівності -2x:(-2) > 10:(-2), тобто x > -5.

Щоб розв'язати систему двох нерівностей з одним невідомим, потрібно розв'язати кожну із нерівностей окремо і взяти спільну частину множини всіх їх розв'язків.
Приклад. Розв'язати систему нерівностей

Тому

- розв'язки системи нерівностей.

У процесі розв`язання рівнянь, нерівностей та їхніх систем застосовуються загальні методи та прийоми (розкладання на множники, заміна змінної, застосування властивостей функцій).
Наприклад, при розв`язанні лінійних і квадратних рівнянь краще користуватися графічним методом розв`язання.
При пошуку розв`язання показових рівнянь і нерівностей вони зводяться до однієї основи, тобто до рівняння виду

, яке рівносильне рівнянню f(x) = g(x).

При розв`язанні логарифмічних рівнянь і нерівностей вони також зводяться до однієї основи, тобто до виду

, яке рівносильне рівнянню f(x) = g(x).

При розв`язанні рівнянь і нерівностей, які містять корень n-й степені, від цих степенів звільняються шляхом піднесення обох частин рівності (нерівності) до n-го степеня.