Вказівки до розв’язування нерівностей

Два вирази або числа, з’єднані знаком >$>$, <$<$, ≥$\ge$ або ≤$\le$, утворюють нерівність.

Нерівності, що містять знаки >$>$ або <$<$, називаються строгими, а нерівності, що містять знаки ≥$\ge$ або ≤$\le$, називаються нестрогими.

1. Нерівності з однією змінною мають вигляд:

f(x)>g(x),$$f(x)>g(x),$$

f(x)<g(x),$$f(x)<g(x),$$

f(x)≥g(x),$$f(x)\ge g(x),$$

f(x)≤g(x).$$f(x)\le g(x).$$

Розв’язком нерівності називається множина значень змінної, при яких дана нерівність буде правильною числовою нерівністю.

Дві нерівності називаються рівносильними, якщо множини їхніх розв’язків збігаються.

Основна ідея розв’язування нерівності полягає в заміні нерівності більш простою, але рівносильною заданій.

2. При розв’язуванні нерівності використовують такі правила перетворення нерівності в рівносильну:

а) будь-який член нерівності можна перенести з однієї її частини в іншу з протилежним знаком, залишивши при цьому без зміни знак нерівності;

б) обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне й те саме додатне число, залишивши при цьому без зміни знак нерівності;

в) обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний;

г) якщо для одних і тих самих значень  справедливі нерівності

f(x)>0,g(x)>0  і  f(x)>g(x),$$f(x)>0,g(x)>0іf(x)>g(x),$$

то для тих самих значень x$x$ виконується нерівність

(f(x))n>(g(x))n, n∈N.$${(f(x))}^n>{(g(x))}^n,n\in N.$$

3. Нехай задана нерівність має вигляд

f(x)g(x)>0$$\frac{f(x)}{g(x)}>0$$

(замість знака >$>$ можуть бути знаки <$<$, ≥$\ge$, ≤$\le$, а функція в знаменнику може бути сталою) або вона приведена до цього вигляду за допомогою правил вказівки 2.

Для розв’язування нерівності застосовується метод інтервалів (метод проміжків), який полягає в тому, що:

а) на числову вісь наносять точки

x1,x2,...,xn$${\mathrm{ \; \; x}}_1,x_2,...,x_n$$

що розбивають її на проміжки, в яких вираз

f(x)g(x),$$\frac{\mathrm{ \; f}(x)}{g(x)},$$

визначено і зберігає знак (плюс або мінус). Такими точками можуть бути корені рівнянь

f(x)=0  і  g(x)=0.$$f(x)=0іg(x)=0.$$

Відповідні цим кореням точки позначають на числовій осі: зафарбованими кружками — точки, що задовольняють задану нерівність, а світлими кружками — точки, що не задовольняють її;

б) відшукують і позначають на числовій осі знак виразу

f(x)g(x),$$\frac{f(x)}{g(x)},$$

для значень x$x$, які належать кожному з одержаних проміжків. Якщо функції

f(x)  і  g(x)$$f(x)іg(x)$$

є многочленами і не містять множників виду

(x−a)2n, де n∈N,$${ \; \; (x-a)^}^{2n},деn\in N,$$

то достатньо визначити знак функції

 f(x)g(x)$$\frac{\mathrm{ \; \; f}(x)}{g(x)}$$

в будь-якому такому проміжку, а в решті проміжків знаки плюс і мінус будуть чергуватися.

Якщо ж у чисельнику і знаменнику дробу

f(x)g(x)$$\frac{\mathrm{ \; \; f}(x)}{g(x)}$$

є множник виду

(x−a)2n, де n∈N,$${(x-a)^}^{2n},деn\in N,$$

то, покладаючи x≠a,$x\ne a,$ ділять обидві частини заданої нерівності на множник

(x−a)2n,$${(x-a)^}^{2n},$$

додатний при всіх значеннях x≠a,$x\ne a,$ (дивіться вказівку 2), і безпосередньою перевіркою з’ясовують, чи задовольняє значення x=a$x=a$ задану нерівність.

4. Розглянемо розв’язування квадратної нерівності

ax2+bx+c>0   (1)$$a{\mathrm{x^}}^2+bx+c>0(1)$$

у випадку від’ємного дискримінанта квадратного тричлена

ax2+bx+c  (D=b2−4ac<0).$$a{\mathrm{x^}}^2+bx+c(D={\mathrm{b^}}^2-4ac<0).$$

Якщо a>0$a>0$, то нерівність (1) виконується при всіх значеннях x.

Якщо ж a<0$a<0$, то нерівність не виконується ні при якому значенні x.

5. Ірраціональна нерівність

f(x)−−−−√<g(x)   (2)$$\sqrt{f(x)}<g(x)(2)$$

рівносильна системі нерівностей

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪f(x)≥0g(x)>0(f(x)−−−−√)2<(g(x))2   (3)$$\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)>0\\ {(\sqrt{f(x)})}^2<{(g(x))}^2\end{array}(3)$$

6. Ірраціональна нерівність

f(x)−−−−√>g(x)   (4)$$\sqrt{f(x)}>g(x)(4)$$

рівносильна сукупності двох систем нерівностей

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪f(x)≥0g(x)≥0(f(x)−−−−√)2>(g(x))2$$\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)\ge 0\\ {(\sqrt{f(x)})}^2>{(g(x))}^2\end{array}$$	(5)$$(5)$$
{f(x)≥0g(x)<0$$\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)<0\end{array}$$

7. Показникова нерівність

af(x)>ag(x)   (6)$$a^{f(x)}>a^{g(x)}(6)$$

При a>1$a>1$ рівносильна нерівності

f(x)>g(x)   (7)$$f(x)>g(x)(7)$$

а при 0<a<1$0<a<1$ — нерівності

f(x)<g(x)   (8)$$f(x)<g(x)(8)$$

8. Логарифмічна нерівність

logaf(x)>logag(x)   (9)$${\log }_{a}f(x)>{\log }_{a}g(x)(9)$$

При a>1$a>1$ рівносильна системі нерівностей

⎧⎩⎨f(x)>0g(x)>0f(x)>g(x)   (10)$$\{\begin{array}{l}f(x)>0\\ g(x)>0\\ f(x)>g(x)\end{array}(10)$$

а при 0<a<1$0<a<1$ — системі нерівностей

⎧⎩⎨f(x)>0g(x)>0f(x)<g(x