вівторок, 7 жовтня 2014 р.

ТЕСТ "ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ НЕРІВНОСТЕЙ"

ТЕСТ "ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ НЕРІВНОСТЕЙ"

Початковий курс
пошукачів властивостей
нерівностей

1. За якої умови a > b:

a - b = -10;
a - b = 0;
a - b < 0;
a - b > 0.

2. За якої умови a = b:

a - b > 0;
a - b = 0;
a - b < 0;
не можна визначити умову рівності a i b.

3. За якої умови a < b:

a - b < 0;
a - b > 0;
a - b < 6;
не можна визначити умову нерівності a i b.

4. Як потрібно розмістити на координатній прямій від'ємні числа a i b, якщо a < b?

більше число b знаходиться лівіше, ніж менше число a;
менше число а знаходиться правіше, ніж більше число b;
більше число b знаходиться правіше, ніж менше число a;
не можна визначити умову розташування a i b.

5. Знайдіть строгу нерівність.

a =< b;
a - b = 0;
a - b < 0;
не можна визначити умову строгої нерівності між a i b.

6. Знайти правильну нерівність:

2m + m2 > 4m + m4;
а2 + b2 + 2 < 0;
a + a-1 >= 2;
(a + b)2 < 0.

7. Знайти правильну нерівність, якщо 0 < n < m:

n2 < m2;
n2 > m2;
не завжди нерівності правильні;
будь-які нерівності завжди правильні;
n2 - m2 > 0.

8. Запишіть усі три вирази: m0; m-1; m3 в порядку зростання, якщо 0 < m < m2

m-1 > m0 > m3;
m-1 < m0 < m3;
m0 < m-1 < m3;
не можна визначити умову строгої нерівності між трьома виразами.

9. Відомо, що 0,2 < y < 1, тоді:

-1 =< y =< -0,2;
-1 > y > -0,2;
-1 < y < -0,2;
всі попередні пункти хибні.

10. Відомо, що 2 < y < 10, тоді:

22 < y2 < 102;
-20 < -2y < -4;
6 < 3y < 30;
всі попередні пункти правильні.

11.Чи завжди сума та різниця непарного від'ємного і парного від'ємного числа є непарне ціле число?

завжди так;
не завжди;
ніколи;
нічого вияснити не можна.

12.Відомо, що m - ціле число. Серед яких натуральних чисел вигляду -4m, -4m + 1, -4m + 2, -4m + 3 не можливо знайти:

парних від'ємних чисел;
двічі по півтора;
тричі по півтора;
парних від'ємних і непарних від'ємних чисел;
Опубліковано о Немає коментарів:

Доведення нерівностей

Вирази, які встановлюють на певній множині відношення порядку, називають нерівностями. Для цього використовують поняття: «більше», «менше», «більше або рівне», «менше або рівне».
Коли мова йде про доведення нерівностей, справедливість яких треба довести, то обов’язково вказують множину значень змінних. Якщо така множина не вказана, тоді розуміють, що ці змінні можуть приймати будь-які дійсні значення.

Каталог класичних нерівностей:
1. Сума двох взаємно обернених чисел не менше двох, тобто якщо для чисел a∙b=1, тоді
                                                                 a/b +b/a >=2

2. Для невід’ємних n:
                                                                 1/b +b >=2
3.                  Якщо для невід’ємних чисел a∙b=1, тоді

                                         (a+b)2.

4.                  Якщо для невід’ємних  m чисел a∙b∙c∙d∙e∙…∙f=1, тоді

(a+b+c+d+e+…+f)m.

5. Для довільного а вірно:
а20.

6. Для довільної послідовності  чисел  xі  вірно:
                                             x12  + x22 + …+ xn2 >=0
7. Для додатного числа  а>0  та від’ємного дискримінанта: b2-4aс<0 завжди виконується квадратна нерівність:

ax2+bx+c>0.

8. Для від’ємного числа  а<0  та від’ємного дискримінанта: b2-4aс<0 завжди виконується квадратна нерівність:

                                              ax2+bx+c<0.

Осмислення способів доведення нерівностей.

На практиці математики використовують для доведення різні способи:
  • за визначенням(віднімання більшого від меншого);
  • способом додавання лівих та правих частин класичних нерівностей;
  • способом від супротивного;
  • методом математичної індукції;
  • штучні способи;
  • синтез декількох способів доведення.
Способи доведення нерівностей.

1. За визначенням, тобто, якщо х>у, тоді х-у>0(невід’ємне число). Тому для доведення нерівності f(a,b,…,k) > g(a,b,…,k) необхідно утворити різницю( від більшого відняти менше) f(a,b,…,k) - g(a,b,…,k) >0і перетворити її так, щоб впевнитися в тому, що вона невід’ємна на заданій множині. Аналогічно застосовується цей спосіб для доведення нерівностей вигляду f(a,b,…,k) < g(a,b,…,k),    f(a,b,…,k) <g(a,b,…,k),    f(a,b,…,k) >g(a,b,…,k).


Опубліковано о Немає коментарів:

Математична статистика


Математична статистика — розділ математики, який при­свячений методам збору й обробки математичних даних та їх використанню для наукових і практичних спостережень.
Основні поняття математичної статистики
1.  Статистичні дані — сукупність чисел, які дають кількіс­ну характеристику ознак певних об'єктів та явищ, що нас цікавлять.
2.  Відібрану для спостереження сукупність об'єктів називають вибірковою сукупністю або вибіркою.
3.  Кількість об'єктів сукупності називають об'ємом сукуп­ності.
4.  Числа, що є значеннями ознак кожної групи, на які можна поділити вибірку, називають варіантами; послідовність ва­ріант називають варіаційним рядом.
5.  Частоти — числа, які показують, скільки разів повторювалось кожне значення ознаки сукупності.
6.  Відношення частоти до об'єму вибірки називають відносною частотою.
Приклад. Нехай дано вибірку: 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 6. х1 = 2; х2 = 3; х3 = 4; х5 = 5; х6 = 6 — варіанти вибірки; 2; 3; 4; 5; 6 — варіаційний ряд.
Частота варіанти х1 дорівнює 3; варіанти х2 — 5; варіан­ти х3 — 6; варіанти х4 — 5; варіанти х5 — 1. Відносна частота варіанти х1 дорівнює  = 15%; варіанти х2 — = 25%.
Для обробки статистичних даних виконують їх зведення, тобто упорядковують, узагальнюють статистичні дані.
Способи зведення статистичних даних:
1)    складання статистичного ряду;
2)    складання статистичної таблиці розподілу вибірки;
3)    складання полігона частот;
4)    складання гістограм.
Приклад. Економіст, аналізуючи тарифні розряди праців­ників одного із цехів заводу, вибрав документи 20 робітників і виписав з них послідовність чисел, що вказують на тарифні розряди: 4; 4; 3; 2; 5; 2; 3; 5; 4; 3; 3; 2; 5; 4; 5; 4; 6; 3; 4; 5 — вибірка, що піддається обробці.
Статистичний ряд цієї вибірки: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6;
Статистична таблиця розподілу вибірки:
    
Тарифний розряд х1
2
3
4
5
6


Кількість робітників п
3
5
6
5
1

Усні вправи
1.     Дано вибірку: 2; 3; 3; 4; 7; 5; 7; 9. Як записати її у вигляді:
1) статистичного ряду;                   2) варіаційного ряду?
2.     Для вибірки 2; 3; 3; 4; 7; 5; 7; 9; 3 знайдіть варіанти, частоти і відносні частоти та заповніть статистичну таблицю.

Контрольні запитання
1.     Що таке математична статистика?
2.     Що таке вибіркова сукупність?
3.     Що таке статистичний ряд?
4.     Що таке статистична таблиця?
5.     Що таке варіанта; варіаційний ряд?
6.     Що називають частотами?
7.     Що називають відносною частотою?
8.     Що таке полігон (частот)?

9.     Що таке гістограма?
Опубліковано о Немає коментарів:

Задачі математичного моделювання

ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ МОДЕЛЮВАННЯ




Моделювання як метод дослідження відоме дуже давно – ще з часів Леонардо да Вінчі та Галілея. З розвитком виробничих сил суспільства воно знаходить усе нові й нові застосування. У сучасному світі моделювання стало складовою частиною не тільки експериментальних досліджень і конкретного технічного проектування – інженерної справи; завдяки моделюванню створюються абстрактні теорії, воно використовується в усіх галузях науки.
Математичне моделювання є найвищою формою моделювання. Воно сприяло розвитку науки й техніки індустріального суспільства, а з появою електронно-обчислювальних засобів обробки інформації привело до бурхливого розвитку сучасного – постіндустріального – суспільства.
Термін модель походить від латинських слів modus, modulus, які означають міра, образ, спосіб. У багатьох мовах світу вслід за латинською з’явились відповідні слова: modello – в італійській, modelo – в іспанській, modellе – у французькій, model – в англійській, Modell – у німецькій, модель – у російській та українській.
Початковий розвиток моделі отримали в будівельному мистецтві. Моделями стали називати речі, виготовлені на основі вимірів, які відтворювали існуючі об’єкти або були зразками для нових – ще не існуючих.
Надалі термін модель поступово набуває іншого змісту. Так, моделлю почали називати уявну або матеріальну структуру, що зображує у зручній формі стан деякої системи, процеси в якій мають бути вивчені. Разом з тим на певних етапах розвитку суспільства моделями стали вважати зображення систем, явищ або процесів, які вивчаються за допомогою систем, явищ або процесів іншої природи, іноді навіть уявних.
Найпростішими прикладами є добре відома модель ефіру, яка використовувалася для пояснення поширення електромагнітних коливань у просторі, та модель електричного струму, який моделювався рідиною, що тече провідником. Поняття моделі тут значною мірою збігається з поняттям аналогії, причому навіть з’явилась тенденція вважати аналогію загальним випадком моделі, що не зовсім вірно, оскільки аналогія відображає умовні, часто поверхові співвідношення.

 ОСНОВНІ КАТЕГОРІЇ ТЕОРІЇ МОДЕЛЮВАННЯ


Моделювання. Метод моделювання є методом дослідження властивостей певного об’єкта (оригіналу) за допомогою вивчення властивостей іншого об’єкта (моделі), який є зручнішим для дослідження і знаходиться у певній відповідності до першого об’єкта (оригіналу).
Моделювання – це побудова (або вибір) і вивчення такого об’єкта будь-якої природи (моделі), що здатний замінити собою досліджуваний об’єкт (оригінал) і вивчення якого дає нову інформацію про досліджуваний об’єкт.
Оригінал. У теорії моделювання оригінал – це об’єкт, певні властивості (аспекти) якого підлягають вивченню методом моделювання.
У загальному випадку поняття оригіналу має широку інтерпретацію. Воно охоплює об’єкти (системи, підсистеми, елементи), як реально існуючі, так і такі, що проектуються, а також явища, режими і процеси, які в них відбуваються.
Означимо коротко терміни, які зустрічаються у визначенні оригіналу.
Система – це сукупність компонентів, яка розглядається як єдине ціле й організована для розв’язання певних функціональних задач так, що два будь-які її компоненти взаємозалежні завдяки деякому системостворюючому відношенню.
У системі можуть бути виділені підсистеми – відносно самостійні частини системи, які пов’язані функціонально між собою, а також елементи – компоненти системи, які приймаються за відповідної постановки задачі як неподільні.
Явище – це сукупність процесів, які є супутніми функціонуванню або поведінці системи й виявляються у вигляді змін стану або режимів цієї системи.
Режим – це стан системи, який визначається багатьма різними процесами й залежить як від власних параметрів системи, так і від параметрів збурюючих впливів.
Існують стаціонарні (усталені) і нестаціонарні (перехідні) режими.
Стаціонарний режим – це такий стан системи, за якого параметри режиму не змінюються в часі.
У протилежному випадку режим є нестаціонарним (перехідним).
Процес – це закономірна послідовна зміна деякої групи параметрів режиму, які називаються параметрами процесу.
Система також характеризується своїми параметрами. Наприклад, при дослідженні механічних явищ параметрами процесів є сили, швидкості, прискорення, а параметрами системи – маси тіл, коефіцієнти тертя, в’язкості рідин тощо.
Системи, у яких параметри є сталими на всьому інтервалі часу, протягом якого відбувається процес, що вивчається, називаються лінійними.
Системи, у яких хоча б один параметр змінюється як функція іншого або кількох інших параметрів, називаються нелінійними.
Модель. Це допоміжний об’єкт, який знаходиться у певній відповідності до об’єкта, що вивчається (оригіналу), і є більш зручним для дослідження оригіналу.
Відображаючи окремі особливості поведінки об’єкта-оригіналу, модель має деякі риси, ідентичні з оригіналом, і використовується для одержання такої інформації про оригінал, яку важко або неможливо одержати шляхом безпосереднього дослідження оригіналу.
Інтуїтивні уявлення про модель найчастіше асоціюються з технічними засобами, які застосовуються для створення відповідного „еквівалента” об’єкта дослідження, адекватного йому в тому чи іншому сенсі, але практично більш зручного для розв’язання поставлених задач.
Як приклад розглянемо моделі літака. Це матеріальні моделі, оскільки вони є фізичними, матеріальними об’єктами. Модель літака може бути натурною, тобто точною копією літака, яка від оригінала відрізняється тільки розмірами. Така модель, як правило, не може літати. Натурні моделі використовують, наприклад, як експонати на виставках, замість літака-оригіналу.
Інший тип моделі літака – це його функціональна модель (напр., так звана схематична). Вона не відображує зовнішності жодного літака. Такі моделі будують юні авіамоделісти у шкільних гуртках. Ці моделі використовуються для відтворення найважливішої функції літака – його здатності літати.
Проте поняття моделі принципово і суттєво ширше: функції моделі може виконувати не тільки спеціально створений експериментальний пристрій, але й явище, яке спостерігається, і символічне (знакове) описання оригіналу (текстове описання, математичне рівняння, креслення, схема тощо), і уявний образ. Тому у загальному випадку модель – це явище, технічний засіб, знакове утворення або інший умовний образ, що знаходиться у певній відповідності (схожості, подібності) до об’єкта-оригіналу, який вивчається. Модель може замінити оригінал у процесі дослідження, надаючи про нього необхідну інформацію.
Як приклад можна назвати математичну модель гармонійних коливань. З фізики відомо, що диференціальне рівняння вільного коливання пружинного маятника має вигляд
ma"(t)=-wa(t),                       
де  a(t) – відхилення центра мас пружинного маятника від положення рівноваги в момент часу  t; m – маса маятника; w – коефіцієнт пружності пружини; wa(t) – сила, яка діє на маятник з боку пружини.
Отже, рівняння, яке описує різні за природою коливальні процеси, є математичною моделлю гармонійних коливань. Окрім рівнянь до математичних моделей належать: функції та їх множини, системи рівнянь і нерівностей, числові системи, простори, фігури, групи, функціонали,оператори,  тощо. Ці моделі, на відміну від попереднього прикладу моделей літака, є уявною. Оскільки при її побудові МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ,  що відображає реальну зміну стану системи об’єктів ,найчастіше отримується диференціальне рівняння, то вона є математичною моделлю. Повна класифікація моделей і способи їх побудови будуть наведені далі.

Подібність. Наведене визначення моделі дозволяє сформулювати вимоги, які мають задовольняти методи моделювання.
1. Методи моделювання мають наділяти модель здатністю відображення реально існуючого об’єкта або об’єкта, що проектується.
2. Методи моделювання мають базуватися на певних правилах, які б дозволяли встановлювати взаємно однозначну відповідність між моделлю й оригіналом.
3. Методи моделювання мають забезпечити можливість створення моделі, яка, з одного боку, була б достатньо простою, а з іншого – могла б з необхідною повнотою й достовірністю відобразити ту частину властивостей оригіналу, яка є суттєвою саме в даному дослідженні і при даній постановці задачі.

Забезпечення третьої вимоги залежить великою мірою від майстерності й досвіду дослідника, а виконання першої і другої – забезпечується теорією подібності.
Поняття подібності було запозичено з геометрії. Геометрична подібність у найпростішому випадку подібності многокутників полягає в тому, що многокутники з однаковою кількістю сторін подібні, якщо в них відповідні кути рівні, а відповідні сторони – пропорційні.

КЛАСИФІКАЦІЯ ВИДІВ ПОДІБНОСТІ
ТА МОДЕЛЮВАННЯ


Абсолютна подібність. При встановленні такої подібності можуть порівнюватися між собою процеси в різних системах. Такі процеси є абсолютно подібними, якщо подібними є і процеси, і системи, у яких вони відбуваються. При цьому пропорційність (1.1.7) відповідних параметрів систем і процесів у них можлива при існуванні констант(постійних параметрів) та наявності змінних(варіаційних параметрів),  тощо.
Таким чином, оригінал і його модель будуть абсолютно подібними, якщо подібними є системи, з яких вони складаються, а також процеси, які в них відбуваються.
Якщо і оригінал, і модель є матеріальними об’єктами, то вони за абсолютної подібності мають бути структурно і фізично ідентичними; різними в них можуть бути лише значення параметрів, які характеризують елементи структури оригіналу й моделі.
Абсолютна подібність на практиці значною мірою є абстрактним поняттям. Повною мірою вона реалізується тільки при математичному моделюванні процесів. У цьому разі оригінал і модель описуються однаковими функціональними залежностями чи рівняннями, відповідні змінні в яких є пропорційними.
Практична подібність. При застосуванні теорії подібності в технічних задачах виникає необхідність введення практичної подібності. Розрізняють повну, неповну й наближену практичні подібності.
Повна практична подібність (або повна подібність) – це подібність протікання в часі й у просторі тільки тих процесів, які є суттєвими для даного дослідження і з достатньою повнотою характеризують явище, що вивчається, згідно з конкретною постановкою задачі дослідження.
Відповідно, якщо при моделюванні забезпечена повна практична подібність, то має місце повне моделювання.
Неповна практична подібність (або неповна подібність) – це подібність перебігу процесів або тільки в часі, або тільки у просторі.
Цій подібності відповідає неповне моделювання.
Наближена практична подібність (або наближена подібність) характеризується існуванням спрощувальних припущень, які приводять до певної відмінності процесів, що розглядаються як подібні. Ця відмінність вважається допустимою на основі попередніх оцінок, які отримуються при додаткових дослідженнях. Цій подібності відповідає наближене моделювання. Воно, як і наближена подібність, також може бути як повним, так і неповним. Класифікацію типів моделювання наведено на рис. 1.1.1.



ВСТУП до математичного моделювання

Надалі зосередимось на вивченні математичного моделювання. Нагадаємо, що під математичним моделюванням розуміють вивчення властивостей об’єкта на його математичній моделі.
Метою математичного моделювання є виявлення оптимальних умов перебігу процесу, керування ним на основі математичної моделі та перенесення результатів на об’єкт.
Неможливо уявити собі сучасну науку без широкого використання математичного моделювання. Сутність цієї методології полягає в заміні об’єкта, що досліджується, його образом – математичною моделлю – і подальшим вивченням моделі як методами математичного аналізу (аналітично), так і за допомогою обчислювально-логічних алгоритмів, які реалізуються на електронних обчислювальних машинах.
Цей метод пізнання, конструювання, проектування поєднує в собі переваги як теорії, так і експерименту. Робота не з самим об’єктом (явищем, процесом), а з його моделлю дає можливість безболісно, відносно швидко і без суттєвих витрат вивчати його властивості й поведінку в будь-яких можливих ситуаціях (переваги теорії). У той же час, обчислювальні експерименти (комп’ютерні, симуляційні, імітаційні) з моделями об’єктів дозволяють, опираючись на можливості сучасних обчислювальних методів і технічних засобів інформатики, детально й глибоко вивчати об’єкти з достатньою повнотою, недоступною чисто теоретичним (аналітичним) підходам (переваги експерименту). Не дивно, що методологія математичного моделювання бурхливо розвивається, охоплюючи все нові сфери – від розробки технічних систем і керування ними до аналізу найскладніших економічних і соціальних процесів.
Використання математичного моделювання можна хронологічно розбити на три етапи його розвитку.
Елементи математичного моделювання використовувались із самого початку виникнення точних наук. Не випадково, що деякі методи обчислень названі іменами таких корифеїв науки, як Ньютон і Ейлер, а слово алгоритм походить від імені середньовічного арабського вченого Аль-Хорезмі.
Друге народження цієї методології припало на кінець 40-х – початок
50-х рр. XX ст. і було зумовлено принаймні двома причинами. Перша з них – поява ЕОМ. Друга – безпрецедентне соціальне замовлення – виконання національних програм США і СРСР зі створення ракетно-ядерного щита, які не могли бути реалізованими традиційними методами. Математичне моделювання справилося з цією задачею: ядерні вибухи та польоти ракет і супутників були спочатку здійснені у надрах ЕОМ за допомогою математичних моделей, і лише потім – на практиці.
Зараз математичне моделювання вступає у третій принципово важливий етап свого розвитку – воно вбудовується у структури так званого інформаційного суспільства. Без володіння інформаційними ресурсами не можна навіть уявити розв’язання масштабних проблем, які стоять перед світовою спільнотою. Однак інформація як така мало що дає для аналізу і прогнозу, для прийняття рішень і контролю за їх виконанням. Потрібні надійні способи переробки інформаційної сировини на готовий продукт, тобто на точне знання.
 Історія методології математичного моделювання переконує: вона може й має бути інтелектуальним ядром інформаційних технологій, усього процесу інформатизації суспільства.
Технічні, екологічні, економічні та інші системи, які вивчаються сучасною наукою, більше не піддаються дослідженню (з потрібною повнотою й точністю) звичайними теоретичними методами. Прямий натурний експеримент над ними є довгим, дорогим, часто або небезпечним, або просто неможливим, оскільки багато з цих систем існують у єдиному екземплярі. Ціна помилок і прорахунків у поводженні з ними неприпустимо висока. Тому математичне (ширше – інформаційне) моделювання є обов’язковою складовою науково-технічного прогресу.


МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ТА ОСНОВНІ ЗАХОДИ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ


Основним поняттям методу математичного моделювання є поняття математичної моделі.
Математичною моделлю називається наближене описання якого-небудь явища або процесу оточуючого світу за допомогою математичної символіки.
На самому початку скористаємося тим, що при вивченні деяких розділів математики читач уже познайомився з деякими прийомами математичного моделювання. Так, вивченню рівнянь математичної фізики передує нехай невеликий, але системно дуже важливий, етап математичного моделювання. Саме на цьому етапі були виведені основні рівняння математичної фізики. Для цього використовується математичне моделювання поширення тепла в нерівномірно нагрітому середовищі, а також моделюються коливання закріпленої на кінцях струни. Моделювання цих процесів дозволило отримати основні рівняння математичної фізики: теплопровідності, хвильове рівняння, рівняння Лапласа й Пуассона, а також сформулювати для них крайові й змішані задачі. Отже, розпочнемо з того, що вже знаємо.
1. При математичному моделюванні вивчається не сам реальний фізичний процес, а деяка його модель, від якої вимагається, щоб вона зберігала основні риси процесу, що розглядається, і в той же час була настільки простою, щоб піддаватися вивченню математичними методами.
2. Створення математичної моделі фізичного явища можна розбити на такі етапи:
2.1. Вибирається основна величина (кілька основних величин), яка характеризує процес. При математичному моделюванні поширення тепла такою величиною є температура  точок середовища, яка в загальному випадку є функцією просторових координат  і часу .
2.2. На другому етапі виводиться визначальне рівняння для основної величини, яка характеризує процес. При вивченні поширення тепла таким рівнянням є рівняння теплопровідності. Для виведення цього рівняння використовується закон збереження тепла в деякому довільному об’ємі нерівномірно нагрітого середовища.
2.3. Одержане на другому етапі диференціальне рівняння має безліч розв’язків. Отже, його не досить для описання конкретного процесу. Тому на третьому етапі побудови математичної моделі виводяться так звані умови однозначності, які з безлічі розв’язків визначального рівняння дозволяють виділити єдиний розв’язок, що характеризує даний процес, який моделюється. Нагадаємо, що для рівнянь математичної фізики такими додатковими умовами є крайові й початкові умови.
Таким чином, математична модель процесів, які вивчаються за допомогою рівнянь математичної фізики, складається з диференціального рівняння для основної величини, яка характеризує процес, і додаткових умов, які дозволяють отримати єдиний розв’язок цього рівняння – розв’язок, що описує даний, конкретний фізичний процес.
Після такого вступу перейдемо до основної частини розділу, у якому познайомимось з основними прийомами, що використовуються при виведенні визначальних рівнянь математичної моделі. Наприкінці розділу наведемо формалізовану схему математичного моделювання.
Основною тезою на початку буде така: другий етап побудови математичної моделі, тобто етап виведення визначального рівняння математичної моделі, є суттєво різним залежно від прийомів, які використовуються при її побудові. Розглянемо деякі підходи до побудови математичних моделей, які ілюструють застосування законів природи, варіаційних принципів, аналогій, ієрархічних ланцюгів. Це дає змогу обговорити такі поняття, як адекватність моделей, їх „оснащення”, нелінійність, чисельну реалізацію та низку інших фундаментальних понять математичного моделювання.

Практика ілюструє також свого роду принцип найбільшого сприяння, який часто використовується на початковій стадії математичного моделювання складних об’єктів: якщо об’єкт, будучи поставленим у найкращі умови, не в змозі досягнути потрібних характеристик, то слід змінити сам підхід до об’єкта або пом’якшити вимоги до нього; якщо ж вимоги в принципі є досяжними, то наступні кроки пов’язані з дослідженням впливу на об’єкт додаткових, більш складних факторів.


Використання варіаційних принципів


Ще один підхід до побудови моделей полягає у використанні так званих варіаційних принципів. Цей підхід за широтою та універсальністю його можливостей можна зіставити з використанням фундаментальних законів природи при побудові математичних моделей. Варіаційні принципи є досить загальними твердженнями про об’єкт, що розглядається (система, явище), вони стверджують, що з усіх можливих варіантів поведінки об’єкта (руху, еволюції) вибираються лише ті, що задовольняють певну умову. Зазвичай згідно з цією умовою деяка величина, яка пов’язана з об’єктом, досягає свого екстремального значення при переході об’єкта з одного стану в інший.


Застосування аналогій при побудові моделей


У дуже великій кількості випадків при побудові математичної моделі об’єкта або неможливо прямо вказати фундаментальні закони чи варіаційні принципи, яким він підкоряється, або, з погляду наших сьогоднішніх знань, узагалі не можна бути впевненими в існуванні подібних законів, які допускають математичне формулювання. Одним із плідних підходів до такого типу об’єктів є використання аналогій з уже вивченими явищами. Що, здавалося б, може бути спільного між радіоактивним розщепленням і динамікою популяцій, зокрема зі зміною чисельності населення нашої планети? Однак на найпростішому рівні така аналогія повністю спостерігається. Про це свідчить одна з найпростіших моделей популяцій, яка називається моделлю Мальтуса. В її основу покладено просте твердження: швидкість зміни населення з часом  пропорційна її поточній кількості , помноженій на різницю коефіцієнтів народжуваності  і смертності .


Застосування ієрархічного підходу до створення моделей


Лише в окремих випадках буває зручною й виправданою побудова математичних моделей, навіть відносно простих об’єктів, одразу у всій повноті, з урахуванням усіх факторів, які є суттєвими для поведінки об’єктів. Тому природним є підхід, який реалізує принцип від простого – до складного, коли наступний крок робиться після досить детального вивчення не дуже складної моделі. При цьому виникає ланцюг (ієрархія) усе більш повних моделей, кожна з яких узагальнює попередні, включаючи їх як частинні випадки.
Побудуємо такий ієрархічний ланцюг на прикладі моделі багатоступеневої ракети. Нами вже було встановлено наприкінці підрозділу 2.2.1, що реальна одноступенева ракета неспроможна розвинути першу космічну швидкість. Причина цього – витрата пального на розгін непотрібної, відпрацьованої частини структурної маси. Тому під час руху ракети необхідно періодично позбуватися баласту. На практиці це означає, що ракета має складатися з кількох ступенів, які відкидаються після їх використання.

Задачі на виконання роботи

1. Бригада робітників повинна виготовити 8000 однакових деталей за певний час. Фактично ця робота була виконана на 8 днів раніше строку,оскільки бригада виготовляла щоденно на 50 деталей більше ,ніж було заплановано. Визначте термін закінчення роботи.
2. Двом робітникам було доручено виготовити партію однакових деталей. Після того, як перший поробив 7 год , а другий – 4 год, виявилося, що вони виконали 5/9 всієї роботи. Пропрацювавши разом ще 4 год, вони з’ясували, що їм залишалося виконати 1/18 всієї роботи. За скільки годин кожний робітник, працюючи окремо, зміг би виконати всю роботу ?
3. Працюючи одночасно на трьох станках за 7 год обробляють 343 деталі. За 2 год на першому і другому станках разом можна обробити стільки деталей, скільки на третьому за 5 год. За 3 год на першому  станку можна обробити на 10 деталей більше, ніж за 2 год на другому . Скільки деталей за годину можна обробити на першому станку ?
4. Два робітники, працюючи разом , можуть виконати завдання за 4 год. Один з них, працюючи окремо , може виконати завдання на 6 год раніше, ніж другий. За скільки годин може виконати завдання кожен робітник окремо ?
5.Два екскаватори різної потужності, працюючи разом  з постійною продуктивністю вирили котлован запланованого об’єму за 2 год 24 хв. Перший екскаватор, працюючи один, завершив роботу на  2 год швидше,ніж  другий. Знайдіть час, за який вирив би котлован другий екскаватор, працюючи один.
6.  Два робітники, працюючи разом, виконують певну роботу за 15 хвилин. Скільки часу буде потрібно другому робітникові, щоб виконати цю роботу одному, коли відомо, що перший робітник виконує її на m год швидше, ніж другий?
7. Бригада робітників повинна була виготовити 360 деталей. Виготовляючи щоденно на 4 деталі більше, ніж передбачалося за планом, бригада виконала завдання на 1 день раніше встановленого терміну. Скільки днів витратила бригада на виконання завдання?
8.  Два робітники за зміну виготовили разом 72 деталі. Після того як перший робітник підвищив продуктивність праці на 15%, а другий – на 25%, вони стали виготовляти 86 деталей. Скільки деталей виготовляє кожний робітник за зміну після підвищення продуктивності праці?
9. Час, що витрачає велосипедист для проходження наступного кілометра шляху, на одну і ту саму величину більший ніж час, витрачений ним на проходження попереднього кілометра. Відомо, що на проходження другого і четвертого кілометрів після старту він витратив в сумі 3 хв 20 сек. За який час велосипедист проїхав перші 5 км після старту?
10. Бригада виконала план на 98%. Збільшення продуктивності праці кожного робітника на 1/(20)  планового обсягу роботи всієї бригади дало змогу виконати роботу на 132%, звільнивши трьох робітників для виконання інших завдань. Скільки робітників було в бригаді?
11.  На заводі було декілька однакових пресів, які штампували деталі, і завод випускав 6480 деталей в день. Після реконструкції всі преси замінили на продуктивніші й теж однакові, збільшивши їх кількість на 3. Завод став випускати 11200 деталей в день. Скільки пресів було спочатку?
12. У букіністичному магазині на антикварну збірку творів вартістю 350 грн. робили знижку двічі на одне і те й саме число відсотків. Знайдіть ці числа, коли відомо , що після дворазової знижки збірка творів коштує 283 грн. 50 коп.
13. Є три куски тканини. З першого куска продали половину тканини ,з другого 2/(3), а третій кусок , в якому було 1/(3) всієї тканини, продали весь. Скільки відсотків тканини продали , якщо всього її залишилося в 2 рази менше , ніж було в другому куску ?
14. Із бака , наповненого спиртом, відлили частину спирту і долили водою . а коли з нього знову відлили стільки ж літрів суміші, то залишилося 36 л чистого спирту. Скільки літрів спирту вилили першого разу і скільки другого, якщо місткість бака 81 л ?
15. Вартість 70 примірників першого тому і 60 примірників другого тому складала 230 грн . За всі книжки заплатила 191 грн., оскільки була проведена знижка : на перший том 15% , на другий – 20% . Знайдіть початкову вартість першого тому.
16. Два автомобілі повинні були перевезти певний вантаж протягом 20 год. Однак роботу зміг розпочати тільки один автомобіль; до прибуття другого автомобіля він перевіз  80 % вантажу. Решту вантажу перевіз другий автомобіль, унаслідок чого весь вантаж було перевезено за 36 год. Скільки часу потрібно було б кожному автомобіля?

 Задачі статистики
Приклад 1. 
Для з'ясування рівня знань учнів 9-х класів у школах мікрорайону склали спеціальну контрольну роботу з шести завдань. У школах мікрорайону навчається 710 дев'ятиклас­ників, з яких випадковим чином відібрали 50 учнів (обсяг вибірки n), і в алфавітному спис­ку цих учнів біля кожного прізвища після проведення контрольної роботи проставили кількість правильно розв'язаних задач. Вийшов ряд даних (статистичні дані):
4; 2; 0; 6; 2; 3; 4; 3; 3; 0; 1; 5; 2; 6; 4; 3; 3; 2; 3; 1; 3; 3; 2; 6; 2; 2; 4; 3; 3; 6; 4; 2; 0; 3; 3; 5; 2; 1; 4; 4; 3; 4; 5; 3; 2; 3; 1; 6; 2; 2.
Щоб зручніше було аналізувати інформацію, розташували ці числа в порядку їх зростан­ня (ранжирування ряду даних):
0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6.
Для кращого сприйняття і полегшення подальшого аналізу результатів, їх подають у виг­ляді таблиці, яка встановлює зв'язок між впорядкованим рядом статистичних даних і відповідними їм частотами mі (або відносними частотами vi)

Кількість правильно розв'язаних задач, хі
0
1
2
3
4
5
6
Частота, mi
3
4
12
15
8
3
5
Відносна частота, vi , (у %)
6
8
24
30
16
6
10
Перевірка: 1) додаємо всі частоти ті і одержуємо обсяг вибірки n = 50;

2) додаємо всі відносні частоти vi, і одержуємо 100%. Отже, таблиця заповнена правильно.

ЗАДАЧІ НА ВІДСОТКИ
Варіант 1
1.  Запишіть десятковим дробом:  а) 25% ; 5%; 20% ;  10%; 75%; 50%; 100%; 150%;  б) 0,4%; 4,6%; 0,01%; 5,5%;  в) 110,3%; 120,1%; 160,005%; 540,0002%;  г) 1000%; 1060%; 1270%; 4405%; 7171%.
2.  Нехай ціна зошита дорівнює 3 грн. Якою буде його ціна, якщо:
а)  її збільшити на 20% , на 3% , на 50,5%, на 200,7% ;
б) її зменшити на 25% , на 80% , на 20,4%, на 300,8% ?
3. Сплав містить 21% срібла. Скільки грамів сплаву треба взяти, щоб він містив 63 г срібла?
4. Площа парку 42 га. Озеро займає 35% цієї площі. Яка площа озера?
5. Ціна товару становила 160 грн. Через деякий час вона знизилася на 16  грн. На скільки відсотків змінилася початкова ціна?
6. На скільки відсотків збільшиться периметр квадрата зі стороною 100 см, якщо його сторону збільшити на 20%?
7. Ціну деякого товару знизили спочатку на 20%, а потім одержану ціну підвищили на 10%. На скільки всього відсотків змінилася початкова ціна товару?
8. Вкладник поклав у банк  5000 грн  під 8% річних. Який прибуток він отримає через 2 роки:  а) в складних відсотках;  б) в простих відсотках?
9.У першому бідоні було молоко, масова частка жиру якого становила 3%, а в другому - вершки жирністю 18%. Скільки треба взяти молока і скільки вершків, щоб отримати 10 кг молока з масовою часткою жиру 6% ?
10. Якщо довжину прямокутника збільшити на 50%, то на яку частину треба зменшити його ширину (у долях), щоб площа прямокутника не змінилася?
11. В автопарку 20% автобусів білого кольору, а  дев¢ята частина  автобусів - жовтого. Скільки автобусів у автопарку, якщо їх більше за 50, але менше від 100?
12. Ціна нового автомобіля 120000грн. За нормальних умов експлуатації його ринкова ціна з кожним роком зменшується на 8% від початкової ціни. За яку ціну зможе продати автомобіль його власник через 5 років експлуатації? через 10 років експлуатації?

Варіант 2.
1.  Запишіть десятковим дробом:  а) 27% ; 31% ; 64% ; 86%;  127% ; 50% ; 15% ; 186%;    б)0,3%; 0,7%; 1,2%; 90,5%;  в) 120,7%; 150,8%; 100,004%; 3450,0002%;  г)1000%; 104%; 167%; 420%; 670%.
2.  Нехай ціна зошита дорівнює а грн. Якою буде його ціна, якщо:
а)  її збільшити на 10% , на 4% , на 42,5%, на 104,5% ;
б) її зменшити на 75% , на 93% , на 3%, на 0,6% ?
3. Сплав містить 20% срібла. Скільки грамів сплаву треба взяти, щоб він містив 80 г срібла?
4. Площа парку 54 га. Озеро займає 45% цієї площі. Яка площа озера?
5. Ціна товару становила 180 грн. Через деякий час вона збільшилася на а  грн. На скільки відсотків змінилася початкова ціна?
6. На скільки відсотків зміниться периметр квадрата, якщо його сторону зменшити на 25%?
7. Ціну деякого товару знизили спочатку на 25%, а потім одержану ціну підвищили на 20%. На скільки всього відсотків змінилася початкова ціна товару?
8. Вкладник поклав у банк  20000грн  під 15% річних. Який прибуток він отримає через 3 роки:  а) в складних відсотках;  б) в простих відсотках?
9.У першому бідоні було молоко, масова частка жиру якого становила 4%, а в другому - вершки жирністю 15%. Скільки треба взяти молока і скільки вершків, щоб отримати 10 кг молока з масовою часткою жиру 6% ?
10. На фермі є 80 корів. На пасовище вивели 90% з них, а 25% решти пройшли огляд у вете­ринара. Скільки корів оглянув ветеринар?
11. Стіл і стілець коштували разом 650 грн. Після того, як стіл подешевшав на 20%, а стілець подорожчав на 20%, вони стали коштувати разом 568 грн. Знайдіть початкову ціну стола і початкову ціну стільця.
12. Вкладник поклав у банк 2400 грн на два різні рахунки. За першим з них банк виплачує 5% річних, а за другим - 8% річних. Через рік вкладник отримав 160 грн прибутку за дво­ма вкладами. Скільки гривень він поклав на кожний рахунок?
Варіант 3
1. Яка з даних рівностей є хибною?  А)  0,5 = 50%;  Б)  0,1=10%;   В)   3 = 300%;     Г ) 2,3=23%.  
2. Який відсоток вмісту хрому в чавуні, якщо 200 кг чавуну містять 14 кг хрому?
А)   6%;          Б)  7%;            В)   8%;          Г ) 9%.
3. У саду росло 64 вишневі дерева, що становило 16% всіх дерев. Скільки всього дерев рос­ло в саду?      А) 80 дерев;        Б)   240 дерев;           В)  400 дерев;            Г)  480 дерев.
4. Скільки гривень буде на банківському рахунку через рік, якщо покласти до банку 20000 грн під 4% річних?   А)  20008 грн;       Б ) 20080 грн;            В)  20800 грн;           Г)  28000 грн.           
5.  На чорно-білій фотографії 80% поверхні було покрито чорним кольором, а 20% - білим. Фотографію збільшили в 2 рази. Скільки відсотків поверхні отриманої фотографії покрито білим кольором?     А)  60%;            Б)  80%;          В)   20%;        Г)  40%.         
6.  Ціна картоплі спочатку зросла на 10%, а потім знизилась на 10%. Як змінилася ціна
картоплі порівняно з початковою?
А)  Не змінилася;        Б) знизилася на 1%;  В)  знизилася на 5%;  Г) зросла на 1%.  
7. У школі 50% учнів займаються в спортивних секціях, з них 30% співає в хорі. Який
відсоток учнів школи одночасно займається в спортивних секціях і співає в хорі?
А)   15%;        Б)   20%;         В)   25%;        Г ) 80%.
8. Вкладник поклав до банку 1000 грн під 17% річних. Яка сума вкладу буде на рахун­ку у вкладника через 3 роки?
9. У класі вчиться 20 учнів, 20% з них - хлопчики. Скільки хлопчиків має ще прийти в цей клас, щоб вони становили 50% учнів класу?
10. Скільки кілограмів 25-відсоткового і скільки кілограмів 50-відсоткового сплавів міді треба взяти, щоб отримати 20 кг 40-відсоткового сплаву?
11. За 2 футбольних і 6 волейбольних м'ячів заплатили 340 грн. Після того, як футбольний м'яч подешевшав на 20%, а волейбольний подорожчав на 10%, за один футбольний і один волейбольний м'ячі заплатили 84 грн. Якою була початкова ціна кожного м'яча?
12. Вкладник поклав до банку на два різні рахунки загальну суму 1500 грн. За першим з них банк виплачує 7% річних, а за другим — 10% річних. Через рік вкладник отримав 120 грн відсоткових грошей. Скільки гривень він поклав на кожен рахунок?
Варіант 4
1.  Яка з даних рівностей є хибною?   А) 0,25 =25%;     Б) 0,38 = 38%;        В) 4,8=48%;     Г) 2=200%.
2. У сплаві міді з оловом 45% становить мідь. Скільки кілограмів міді містить шматок тако­го сплаву масою 18 кг?  А) 8,7 кг;       Б) 8,1кг;       В) 7,8 кг;     Г) 7,2 кг.
3. Температура повітря становила 30° С. За добу вона знизилася на 6°С. На скільки відсотків знизилася температура повітря?    А) на 16%;     Б) на 20%;     В) на 24%;   Г) на 18%.
4. Ціну на товар знизили на 10% і він став коштувати 324 грн. Якою була початкова ціна товару?
А) 360грн;       Б) 450грн;        В) 2700грн;        Г)  3240грн.
5. Товар подешевшав на 20%. На скільки відсотків більше можна купити товару за ту саму суму грошей?            А) на 10%;     Б)  на 20%;      В)  на 25%;    Г)  на 100%.
6.  Стіл, початкова ціна якого становила 160 грн, двічі подорожчав, причому кожного разу на 50%. Скільки тепер коштує стіл?  А ) 240 грн;     Б)  260 грн;  В)   360 грн;   Г)  500 грн.   
7.  Число b становить 40% від числа а, а число с - 40% від числа b. Скільки відсотків від числа а становить число с?         А)  4%;          Б)   16%;         В)   20%;        Г)  40%.         
8. Вкладник поклав до банку 3000 грн під 5% річних. Яка сума вкладу буде на рахунку у вкладника через 3 роки?
9. Дмитро розв'язав на 20% задач більше, ніж Іван, але на 20% менше, ніж Оленка. Скільки задач розв'язала Оленка, якщо Іван розв'язав 100 задач?
10. Маємо два водно-сольові розчини. Перший розчин містить 25%, а другий - 40% солі. Скільки треба взяти кілограмів першого розчину і скільки кілограмів другого, щоб отрима­ти розчин масою 50 кг, що містить 34% солі?
11.  Відомо, що дві банки фарби і 3 банки олії коштували 32 грн. Після того, як фарба подешевшала на 50%, а олія подорожчала на 40%, за 6 банок фарби і 5 банок олії заплати­ли 58 грн. Знайдіть початкову вартість однієї банки фарби й однієї банки олії.
12. Вкладник поклав у банк гроші на два різні рахунки, за одним з яких нараховували 5% річних, а за другим - 4%, і отримав за двома вкладами 1160 грн прибутку. Якщо внесені на різні рахунки кошти поміняти місцями, то річний прибуток становитиме 1180 грн. Скільки всього грошей вніс до банку вкладник?

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ. ЗАДАЧІ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ
Варіант 1
1.  Запишіть десятковим дробом:  а) 11% ; б) 101%; в) 0,0001%;  г) 110,1%.
2.  Нехай ціна зошита дорівнює а грн. Якою буде його ціна, якщо: а) її збільшити на 10% , на 1,1% , на 101%; б) її зменшити на 10% , на 0,1%, на 11,1%?
3. Дві великі мавпи й чотири маленькі мав­почки можуть з'їсти 26 горіхів, а дві великі мавпи й дві маленькі мавпочки - 16 горі­хів. Скільки горіхів можуть з'їсти одна велика й три маленькі мавпочки разом? Скільки горіхів може з'їсти одна велика мавпа?
4. Пішохід і велосипедист одночасно вирушили з дому в протилежних напрямах. Швидкість пішохода b км за го­дину, а швидкість велосипедиста на 10 км більша. Яка від­стань буде між пішоходом і велосипедистом через 1 год? через 2 год?
5. Другого дня зі складу видали у 2 рази більше дроту, ніж першого, а третього – у 3 рази більше, ніж першого дня. Скільки видали дроту за три дні разом, якщо першого дня видали на 30 кг дроту менше, ніж третього?
6. У першому бідоні було молоко, масова частка жиру якого становила 3%, а в другому - вершки жирністю 18%. Скільки треба взяти молока і скільки вершків, щоб отримати 10 кг молока з масовою часткою жиру 6% ?
7. Двоє робітників виконують певне завдання за12 днів. Якщо половину роботи буде виконувати один робітник, а решту – другий, то все завдання буде виконане за 25 днів. За скільки днів кожний робітник окремо виконає все завдання?
8. Вкладник поклав до банку 10 тис. грн під 8% річних. Яка сума вкладу буде на рахун­ку у вкладника через 3 роки?
9. Ціна картоплі спочатку зросла на 1%, а потім знизилась на 1%. Як змінилася ціна картоплі порівняно з початковою?
10. Вологість свіжої трави 72%,  висушеного сіна 11%. Скільки із однієї тони трави отримують сіна?
11. Морська вода містить 6% солі. Скільки прісної води треба долити до 10 кг морської, щоб вміст солі складав 1%?
12. Яка імовірність того, що навмання вибрана кісточка доміно має  такі цифри: або 1, або 6, або 3?

Варіант 2
1.  Запишіть десятковим дробом:  а) 22% ; б) 2%; в) 0,00002%;  г) 200%.
2.  Нехай ціна зошита дорівнює а грн. Якою буде його ціна, якщо: а) її збільшити на 20% , на 2% , на 200%; б) її зменшити на 22% , на 0,2%, на 2,2%?
3. Дві великі мавпи й чотири маленькі мав­почки можуть з'їсти 54 горіхів, а дві великі мавпи й дві маленькі мавпочки - 34 горі­хів. Скільки горіхів можуть з'їсти одна велика й три маленькі мавпочки? Скільки горіхів може з'їсти одна маленька мавпа?
4. Пішохід і велосипедист одночасно вирушили з дому в протилежних напрямах. Швидкість пішохода b км за го­дину, а швидкість велосипедиста на 12 км більша. Яка від­стань буде між пішоходом і велосипедистом через 1 год? через 2 год?
5. Перебуваючи в поході, скаути за 3 дні про­йшли 27 км. За перший день вони пройшли відстань у 2 ра­зи більшу, ніж за третій, а за другий день – на 3 км мен­ше, ніж за перший. Скільки кілометрів піонери пройшли за кожний з трьох днів?
6. Двоє мулярів, виконуючи певне завдання разом могли б закінчити його  за 3 дні. Якщо спочатку буде працювати тільки один з них, а коли виконає половину всієї роботи, його замінить другий робітник, то все завдання буде закінчено за 8 днів. За скільки днів кожен муляр міг би виконати все завдання?
7. У першому бідоні було молоко, масова частка жиру якого становила 4%, а в другому - вершки жирністю 15%. Скільки треба взяти молока і скільки вершків, щоб отримати 10 кг молока з масовою часткою жиру 6%?
8. Вкладник поклав до банку 20 тис. грн під 20% річних. Яка сума вкладу буде на рахун­ку у вкладника через 3 роки?
9. Ціна картоплі спочатку зросла на 2%, а потім знизилась на 2%. Як змінилася ціна картоплі порівняно з початковою?
10. Вологість свіжої трави 72%,  висушеного сіна 12%. Скільки із однієї тони трави отримують сіна?
11. Морська вода містить 4% солі. Скільки прісної води треба долити до 20 кг морської, щоб вміст солі складав 1%?
12. Яка імовірність того, що навмання вибрана кісточка доміно має  такі цифри: або 0, або 1, або 3?


МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ. ЗАДАЧІ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ

Варіант 3
1.  Запишіть десятковим дробом:  а)33% ; б) 3%; в) 0,003%;  г) 300%.
2.  Нехай ціна зошита дорівнює а грн. Якою буде його ціна, якщо: а) її збільшити на 30% , на 3% , на 300%; б) її зменшити на 33% , на 0,3%, на 3,3%?
3. Дві великі мавпи й чотири маленькі мав­почки можуть з'їсти 14 горіхів, а дві великі мавпи й дві маленькі мавпочки - 8 горі­хів. Скільки горіхів можуть з'їсти одна велика й три маленькі мавпочки? Скільки горіхів може з'їсти одна велика мавпа?
4. Пішохід і велосипедист одночасно вирушили з дому в протилежних напрямах. Швидкість пішохода b км за го­дину, а швидкість велосипедиста на 13 км більша. Яка від­стань буде між пішоходом і велосипедистом через 1 год? через 3 год?
5. Для туристського походу, в якому брало участь 42 чоловіки, заготовили шестимісні й чотиримісні човни. Скільки було тих і других човнів, якщо всі туристи розмістилися в 8 човнах і вільних місць не залишилось?
6. Перший робітник, працюючи один, може виконати деяку роботу за 8 днів, а другий – за 12 днів. До виконання роботи обидва робітники приступили одночасно і попрацювали разом декілька днів, після чого другий робітник був переведений на іншу роботу. Решту роботи перший робітник закінчив за три дні. Скільки всього днів працював перший робітник?
7. В яких пропорціях треба змішати 6%-ий і 9%-ий оцет, щоб отримати 200 г 8%-ий оцет?
8. Вкладник поклав до банку 30 тис. грн під 3% річних. Яка сума вкладу буде на рахун­ку у вкладника через 3 роки?
9. Ціна картоплі спочатку зросла на 3%, а потім знизилась на 3%. Як змінилася ціна картоплі порівняно з початковою?
10. Вологість свіжої трави 73%,  висушеного сіна 13%. Скільки із однієї тони трави отримують сіна?
11. Морська вода містить 5% солі. Скільки прісної води треба долити до 30 кг морської, щоб вміст солі складав 1%?
12. Яка імовірність того, що навмання вибрана кісточка доміно має  такі цифри: або 1, або 4, або 3?

Варіант 4
1.  Запишіть десятковим дробом:  а) 44% ; б) 4%; в) 0,0004%;  г) 444%.
2.  Нехай ціна зошита дорівнює а грн. Якою буде його ціна, якщо: а) її збільшити на 40% , на 4%, на 400%; б) її зменшити на 40% , на 0,4%, на 4,04%?
3.  Дві великі мавпа й п¢ять маленьких мав­почок можуть з'їсти 43 горіхів, а дві великі мавпи й дві маленькі мавпочки - 22 горі­хів. Скільки горіхів можуть з'їсти одна велика й три маленькі мавпочки? Скільки горіхів може з'їсти одна маленька мавпа?
4. Пішохід і велосипедист одночасно вирушили з дому в протилежних напрямах. Швидкість пішохода b км за го­дину, а швидкість велосипедиста на 14 км більша. Яка від­стань буде між пішоходом і велосипедистом через 1 год? через 4 год?
5. Вік батька, дочки й сина разом становить 47 років. Батько старший від сина в 5 раз, а сестра молодша від брата на 2 роки. Скільки років синові?
6. В яких пропорціях треба змішати 10%-ий і 15%-ий оцет, щоб отримати 500 г 11%-ий оцет?
7. Вкладник поклав до банку 40 тис. грн під 4% річних. Яка сума вкладу буде на рахун­ку у вкладника через 3 роки?
8. Ціна картоплі спочатку зросла на 4%, а потім знизилась на 4%. Як змінилася ціна картоплі порівняно з початковою?
9. Вологість свіжої трави 74%,  висушеного сіна 14%. Скільки із однієї тони трави отримують сіна?
10. Морська вода містить 4% солі. Скільки прісної води треба долити до 30 кг морської, щоб вміст солі складав 1%?
11. На скільки відсотків зміниться площа прямокутника, якщо довжину збільшити на 40%, а ширину зменшити на 45%?
12. Яка імовірність того, що навмання вибрана кісточка доміно має  такі цифри: або 1, або 2, або 3?




МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ. ЗАДАЧІ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ

Варіант 5
1.  Запишіть десятковим дробом:  а) 55% ; б) 5%; в) 0,0005%;  г) 550%.
2.  Нехай ціна зошита дорівнює а грн. Якою буде його ціна, якщо: а) її збільшити на 50% , на 5%, на 500%; б) її зменшити на 55% , на 5%, на 50,5%?
3. Дві великі мавпа й п¢ять маленьких мав­почок можуть з'їсти 36 горіхів, а дві великі мавпи й дві маленькі мавпочки - 18 горі­хів. Скільки горіхів можуть з'їсти одна велика й три маленькі мавпочки? Скільки горіхів може з'їсти одна велика мавпа?
4. Пішохід і велосипедист одночасно вирушили з дому в протилежних напрямах. Швидкість пішохода b км за го­дину, а швидкість велосипедиста на 15 км більша. Яка від­стань буде між пішоходом і велосипедистом через 1 год? через 5 год?
5. За три дні бригада виготовила 266 деталей. Першого дня виготовили у 2 рази більше, ніж другого, а третього - на 10 деталей більше, ніж другого. Скільки деталей виготовляла бригада кожного дня?
6. В яких пропорціях треба змішати 7%-ий і 10%-ий оцет, щоб отримати 800 г 8%-ий оцет?
7. Вкладник поклав до банку 50 тис. грн під 5% річних. Яка сума вкладу буде на рахун­ку у вкладника через 3 роки?
8. Ціна картоплі спочатку зросла на 5%, а потім знизилась на 5%. Як змінилася ціна картоплі порівняно з початковою?
9. На скільки відсотків зміниться площа прямокутника, якщо довжину збільшити на 20%, а ширину зменшити на 25%?
10. Вологість свіжої трави 72%,  висушеного сіна 12%. Скільки із однієї тони трави отримують сіна?
11. Морська вода містить 4% солі. Скільки прісної води треба долити до 20 кг морської, щоб вміст солі складав 1%?
12. Яка імовірність того, що навмання вибрана кісточка доміно має  такі цифри: або 4, або 5, або 5?

Варіант 6
1.  Запишіть десятковим дробом:  а) 66% ; б) 6%; в) 0,0006%;  г) 606%.
2.  Нехай ціна зошита дорівнює а грн. Якою буде його ціна, якщо: а) її збільшити на 60% , на 6%, на 600%; б) її зменшити на 66% , на 0,6%, на 60,6%?
3. Дві великі мавпа й п¢ять маленьких мав­почок можуть з'їсти 50 горіхів, а дві великі мавпи й дві маленькі мавпочки - 26 горі­хів. Скільки горіхів можуть з'їсти одна велика й три маленькі мавпочки? Скільки горіхів може з'їсти одна маленька мавпа?
4. Пішохід і велосипедист одночасно вирушили з дому в протилежних напрямах. Швидкість пішохода b км за го­дину, а швидкість велосипедиста на 16 км більша. Яка від­стань буде між пішоходом і велосипедистом через 1 год? через 6 год?
5. З трьох дослідних ділянок зібрали 180 ц пшениці. З першої ділянки зібрали в 2 рази більше, ніж з другої, а з третьої на 20 ц більше, ніж з першої. Скільки пшениці зібрали з кожної ділянки?
6. В яких пропорціях треба змішати 6%-ий і 12%-ий оцет, щоб отримати 700 г 8%-ий оцет?
7. Вкладник поклав до банку 60 тис. грн під 6% річних. Яка сума вкладу буде на рахун­ку у вкладника через 3 роки?
8. Ціна картоплі спочатку зросла на 6%, а потім знизилась на 6%. Як змінилася ціна картоплі порівняно з початковою?
9. На скільки відсотків зміниться площа прямокутника, якщо довжину збільшити на 60%, а ширину зменшити на 65%?
10. Вологість свіжої трави 76%,  висушеного сіна 16%. Скільки із однієї тони трави отримують сіна?
11. Морська вода містить 5% солі. Скільки прісної води треба долити до 60 кг морської, щоб вміст солі складав 1%?
12. Яка імовірність того, що навмання вибрана кісточка доміно має  такі цифри: або 3, або 4, або 5?








МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ. ЗАДАЧІ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ

Варіант 7
1.  Запишіть десятковим дробом:  а) 77% ; б) 7%; в) 0,007%;  г) 770%.
2.  Нехай ціна зошита дорівнює а грн. Якою буде його ціна, якщо: а) її збільшити на 77% , на 7%, на 700%; б) її зменшити на 77% , на 0,7%, на 70,7%?
3. Дві великі мавпа й п¢ять маленьких мав­почок  можуть з'їсти 48 горіхів, а дві великі мавпи й дві маленькі мавпочки - 24 горі­хів. Скільки горіхів можуть з'їсти одна велика й три маленькі мавпочки? Скільки горіхів може з'їсти одна велика мавпа?
4. Пішохід і велосипедист одночасно вирушили з дому в протилежних напрямах. Швидкість пішохода b км за го­дину, а швидкість велосипедиста на 17 км більша. Яка від­стань буде між пішоходом і велосипедистом через 1 год? через 7 год?
5. Два робітники за 5 днів спільної роботи виконали 75% всієї роботи. За скільки днів може виконати все завдання кожний робітник, якщо перший із них виконує цю роботу на 3 дні швидше, ніж другий.
6. Змішали 30% розчин соляної кислоти з 10% і одержали 600г 15% - го розчину. Скільки грамів кожного розчину було взято?
7. Вкладник поклав до банку 70 тис. грн під 7% річних. Яка сума вкладу буде на рахун­ку у вкладника через 3 роки?
8. Ціна картоплі спочатку зросла на 7%, а потім знизилась на 7%. Як змінилася ціна картоплі порівняно з початковою?
9. На скільки відсотків зміниться площа прямокутника, якщо довжину збільшити на 70%, а ширину зменшити на 75%?
10. Вологість свіжої трави 77%,  висушеного сіна 7%. Скільки із однієї тони трави отримують сіна?
11. Морська вода містить 3% солі. Скільки прісної води треба долити до 70 кг морської, щоб вміст солі складав 1%?
12. Яка імовірність того, що навмання вибрана кісточка доміно має  такі цифри: або 1, або 5, або 2?

Варіант 8
1.  Запишіть десятковим дробом:  а) 88% ; б) 8%; в) 0,0008%;  г) 880%.
2.  Нехай ціна зошита дорівнює а грн. Якою буде його ціна, якщо: а) її збільшити на 80% , на 8%, на 800%; б) її зменшити на 88% , на 0, 8%, на 80,8%?
3. Дві великі мавпа й п¢ять маленьких мав­почок можуть з'їсти 29 горіхів, а дві великі мавпи й дві маленькі мавпочки - 14 горі­хів. Скільки горіхів можуть з'їсти одна велика й три маленькі мавпочки? Скільки горіхів може з'їсти одна маленька мавпа?
4. Пішохід і велосипедист одночасно вирушили з дому в протилежних напрямах. Швидкість пішохода b км за го­дину, а швидкість велосипедиста на 18 км більша. Яка від­стань буде між пішоходом і велосипедистом через 1 год? через 8 год?
5. Басейн наповнюється водою двома трубами за 6 годин. Одна перша труба наповнює його на 5 годин швидше, ніж одна друга. За який час кожна труба, діючи окремо, може заповнити басейн.
6.  Скільки кілограмів 25-відсоткового і скільки кілограмів 50-відсоткового сплавів міді треба взяти, щоб отримати 20 кг 40-відсоткового сплаву?
7. Вкладник поклав до банку 80 тис. грн під 8% річних. Яка сума вкладу буде на рахун­ку у вкладника через 3 роки?
8. Ціна картоплі спочатку зросла на 8%, а потім знизилась на 8%. Як змінилася ціна картоплі порівняно з початковою?
9. На скільки відсотків зміниться площа прямокутника, якщо довжину збільшити на 70%, а ширину зменшити на 75%?
10. Вологість свіжої трави 78%,  висушеного сіна 8%. Скільки із однієї тони трави отримують сіна?
11. Морська вода містить 2% солі. Скільки прісної води треба долити до 80 кг морської, щоб вміст солі складав 1%?
12. Яка імовірність того, що навмання вибрана кісточка доміно має  такі цифри: або 0, або 4, або 3?


Опубліковано о Немає коментарів:
Підписатися на: Дописи (Atom)