Вирази, які встановлюють
на певній множині відношення порядку, називають нерівностями. Для цього
використовують поняття: «більше», «менше», «більше або рівне», «менше або
рівне».
Коли мова йде про
доведення нерівностей, справедливість яких треба довести, то обов’язково
вказують множину значень змінних. Якщо така множина не вказана, тоді розуміють,
що ці змінні можуть приймати будь-які дійсні значення.
Каталог класичних нерівностей:
1. Сума двох взаємно обернених чисел не менше двох, тобто якщо для
чисел a∙b=1, тоді
a/b +b/a
>=2
2. Для
невід’ємних n:
1/b +b >=2
3.
Якщо для
невід’ємних чисел a∙b=1, тоді
(a+b)2.
4.
Якщо для
невід’ємних m чисел a∙b∙c∙d∙e∙…∙f=1, тоді
(a+b+c+d+e+…+f)m.
5. Для довільного а вірно:
а20.
6. Для довільної
послідовності чисел xі вірно:
x12 + x22 + …+ xn2 >=0
7. Для
додатного числа а>0 та від’ємного дискримінанта: b2-4aс<0 завжди виконується квадратна
нерівність:
ax2+bx+c>0.
8. Для від’ємного
числа а<0 та від’ємного дискримінанта: b2-4aс<0 завжди виконується квадратна
нерівність:
ax2+bx+c<0.
Осмислення
способів доведення нерівностей.
На практиці математики
використовують для доведення різні способи:
- за визначенням(віднімання більшого від
меншого);
- способом додавання лівих та правих частин
класичних нерівностей;
- способом від супротивного;
- методом математичної індукції;
- штучні способи;
- синтез декількох способів доведення.
Способи доведення нерівностей.
1. За визначенням, тобто, якщо х>у, тоді х-у>0(невід’ємне число). Тому для доведення нерівності f(a,b,…,k) > g(a,b,…,k) необхідно
утворити різницю( від більшого відняти менше) f(a,b,…,k) - g(a,b,…,k) >0і
перетворити її так, щоб впевнитися в тому, що вона невід’ємна на заданій
множині. Аналогічно застосовується цей спосіб для доведення нерівностей вигляду
f(a,b,…,k) < g(a,b,…,k), f(a,b,…,k) <g(a,b,…,k), f(a,b,…,k) >g(a,b,…,k).
Немає коментарів:
Дописати коментар