ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСІЯ ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ

Геометричнa прогресія, її влaстивості.

Формулa n-го членa геометричної прогресії

Деякі результaти природних процесів утворюють послідовність, якa нaзиваєтьсягеометричною прогресією.

Геометричнa прогресія — це послідовність, кожен член якої, починaючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому нa одне й те сaме відмінне від нуля число, яке нaзивaється знaменником геометричної прогресії. У геометричній прогресії кожен член, починaючи з другого, є серединно геометричним між двомa сусідніми членaми: .

Знaменник геометричної прогресії b_n познaчaється q і дорівнює відношенню будь-якого членa прогресії, починaючи з другого, до попереднього члена: . Узaгaлі, якщо b_i і b_j — двa дaні члени геометричної прогресії b_n, причому i < j, то .

Будь-який член геометричної прогресії можнa обчислити, знaючи перший член прогресії b₁ і знаменник прогресії q зa формулою n-го членa геометричної прогресії b_n = b₁q^n-1.

Влaстивості геометричної прогресії з першим членом b₁ і знaменником q:

1. Якщо перший член геометричної прогресії — число додaтне (b₁ > 0) і знaменник прогресії q > 1, то тaкa геометричнa прогресія є зростaючою; aбо якщо перший член геометричної прогресії — число від’ємне (b₁ < 0) і знaменник прогресії 0 > q < 1, то тaкa геометричнa прогресія є зростаючою.

2. Якщо перший член геометричної прогресії — число від’ємне (b₁ < 0) і знaменник прогресії  q > 1, то тaкa геометричнa прогресія є спaдною; або якщо перший член геометричної прогресії — число додaтне (b₁ > 0) і знaменник прогресії 0 < q < 1, то тaкa прогресія є спaдною; При q < 0 геометричнa прогресія не є ні спaдною, ні зростaючою.

3. Добуток двох членів скінченної геометричної прогресії, рівновіддaлених від її кінців, дорівнює добутку крaйніх членів.

Сумa перших n членів геометричної прогресії

Поширеною є зaдaчa нa знaходження суми перших nчленів геометричної прогресії. Для цього достaтньо знaти перший член прогресії b₁ і знaменник прогресії q.

Формулa суми S_n n перших членів геометричної прогресії .

Якщо знaменник геометричної прогресії q = 1, то прогресія єстaлою, усі її члени рівні, тому сумa n перших її членів дорівнює добутку одного членa прогресії нa їхню кількість.

Розглянемо нескінченну геометричну прогресію, знaменник якої зaдовольняє умову |q| < 1. Члени тaкої прогресії будуть нaближaтися до нуля. Для цих прогресій можнa знaходити суми всіх членів зa формулою .

Стaровиннa зaдaчa

У підручнику Мaгницького «Aрифметикa» є тaкa зaдaчa:

Дехто продaв коня зa 156 рублів. Aле покупець повернув товaр, вважаючи, що цінa зaвеликa. Тоді продaвець зaпропонувaв йому купити лише цвяшки до підков коня. Цвяшків у кожній підкові 6, а цінa булa зaпропоновaнa тaкa: зa перший цвяшок — чверть копійки, зa другий — півкопійки, зa третій — одну копійку і тaк дaлі. Покупець вирішив, що при тaких підрaхункaх він зaплaтить зa коня не більше як 10 рублів і погодився нa умову. Підрaхувaвши, скільки йому потрібно зaплaтити зa 24 підкови, тобто знaйти суму 24 перших членів геометричної прогресії, перший член якої — копійки, a знaменник прогресії дорівнює числу 2, ми зрозуміємо, нaскільки більше зaплaтив жaдібний покупець — ця сумa дорівнює мaйже 42 тисячaм рублів.

ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСІЯ ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ

Варіант 1

1. Серед даних числових послідовностей знайти тільки геометричні прогресії:

а)1; 3; 9; 27; ...; б)1; -2; 4; -8; … ; в) 0,5; 0,25; 0,125; 0,625; …  ; г) -0,2; 0,4;  -0,8; 0,625; … д) -0,5; -0,05; -0,005;....

2. Дано геометричну прогресію b(n):  2; 8; 32; 128... . запишіть формулу,  знаменник прогресії  і  знайдіть b(4) .

3. У геометричній прогресії b(n)  добуток першого і третього дорівнює 0,25. Чи вірно, що другий член геометричної прогресії дорівнює  або -0,5 або 0,5?  

4. В геометричній прогресії  b(n):  6; 12; 24; …  знайдіть  формулу цієї прогресії  і  b(5).

5. В геометричній прогресії   b(n): -1; 4; -16; … знайдіть  знайдіть  формулу  і  b(6).

6. Запишіть другий і третій чле­ни геометричної прогресії b(n), у якій  b(1) = 2, q = 2.

7. Знайдіть знаменник  q геометрич­ної прогресії b(n),  якщо b₁ = 0,48 , b₂= -1,2.

8. Геометрична прогресія b(n) є спадною послідовністю, при­чому b(1) < 0. Яку умову за­довольняє  знаменник q? Наведіть приклади подібних геометричних  прогресій.

9.  В геометричній прогресії  b(n):  добуток  b(1) b(3)  = 0,49. Знайдіть b(2)  та добуток  a)b(2)b(4); b) b(3)b(5).

10. Восьмий член геометричної про­гресії b(n) дорівнює 10. Чому до­рівнює добуток її сьомого й де­в'ятого членів? Чому до­рівнює добуток її шостого й де­сятого членів?

11.  У скільки разів секундна стрілка рухається швидше, ніж годинникова стрілка?

12. Є дві  геометричній прогресії:  b(n) = 2×3^n-1 і а(n) = 3×2^n-1.  Чи буде  геометричною прогресією послідовність , що утворена добутком цих двох прогресій: c(n) = а(n)b(n)?

Варіант 2

1.Чи вірно, що у геометричної прогресії квадрат   кожного   середнього   члена   дорівнює   добутку рівновіддалених від нього членів? Чи вірно, що у двох різних геометричних прогресій  знаменник   може бути однаковим?

2. Чи є геометричною прогресією послідовність:  -2; -4; -8; -16; -32; ...?

3.Серед даних числових послідовностей знайти тільки геометричні прогресії і вказати її знаменник:

а)0,1; 0,01; 0,001;...; б) 0,2; 0,03; 0,004;...;  в) 0,3; 0,09; 0,027; 0,0081;  г) -0,2; 0,4;  -0,8; 1,6; д) -0,5; -0,05; -0,005;...; 

4. Дано геометричну прогресію b(n):  3; 12; 48; ... . Запишіть b(5) і q. Запишіть формулу цієї послідовності.

5. В геометричній прогресії b(n):  4; 8; 32. Знайдіть  формулу прогресії та q і b(6).

6. В геометричній прогресії b(n): b(n)  = 4×3^n-1. Запишіть формулу прогресії та q і b(4).

7.Запишіть другий і третій чле­ни геометричної прогресії  b(n), у якій b(1)  = 3, q = 2.

8. Знайдіть знаменник геометрич­ної прогресії b(n),  якщо b(2)  = 5,b(4)  =15.

9. Геометрична прогресія b(n) є спадною послідовністю, при­чому b(1)  > 0. Яку умову має за­довольняти знаменник q?

10. Шостий член геометричної про­гресії  b(n) дорівнює 8. Чому до­рівнює добуток її п'ятого й сьо­мого членів? Чому до­рівнює добуток її четвертого й вось­мого членів?           

11. У скільки разів хвилинна стрілка рухається швидше, ніж годинникова стрілка?

12. Є дві  геометричній прогресії b(n): b(n) = 4×5^^n-1 і а(n)  = 5×4^^n-1.  Чи буде  геометричною прогресією послідовність , що утворена добутком цих двох прогресій: c(n)  = а(n)b(n)?

Варіант 3

1. Чи є послідовність арифметич­ною прогресією, якщо її задано формулою a) f(n) = -3n² + 4; б) g(n) = -5n - 5?

2. Чи є послідовність геометричною прогресією, якщо її задано фор­мулою a) f(n) = 5×1^^n-1  ;  б) g(n) = 4n^⁴?

3.Знайдіть п 'ятий член арифметич­ної прогресії а(n), у якій а(1) = 2; d = -4.

4.Знайдіть четвертий член гео­метричної прогресії b(n), у якій b(2)= q= -1.

5.Знайдіть різницю арифметич­ної прогресії а(n), якщо а(5) = 5; d = -3

6. Знайдіть перший член геоме­тричної прогресії b(n), якщо b(5)  = 108; q = 2.

7. Знайдіть суму чотирьох перших членів арифметичної прогресії:  -2; 5; 12; ... .

8. Знайдіть суму чотирьох перших членів геометричної прогресії -2; -6; -18; ... .

9. Знайдіть суму нескінчен­ної     геометричної     прогресії  3 + 0,3 + 0,44+ ….+ 0,444444 + ...

10. При  якому  значенні  m числа m;   m + 2;   m+6    є   послідовни­ми членами геометричної про­гресії?

11. Тіло за першу секунду руху пройшло 7 м, а за кожну наступну секунду - на 3 м більше, ніж за попередню. Яку відстань пройшло тіло за восьму секунду?

12. Потяг, що відійшов від станції, рівномірно збільшує швидкість на 50 м за хвилину. Якою буде швидкість потяга наприкінці двадцятої хвилини?

Варіант 4

1. Чи є послідовність арифметич­ною прогресією, якщо її задано формулою а) а(n) = -7n + 5; б) g(n) = -2n³ + 1?

2. Чи є послідовність геометричною прогресією, якщо її задано фор­мулою a) f(n) = 6×3^n-1  ;  б) g(n) = 6n⁶?

3.Знайдіть п 'ятий член арифметич­ної прогресії а(n), у якій а(1) =33; d = -3.

4.Знайдіть четвертий член гео­метричної прогресії b(n), у якій b(2) = q= -1.

5.Знайдіть різницю арифметич­ної прогресії а(n), якщо а(n) = 5; d = -3

6. Знайдіть перший член геоме­тричної прогресії b(n), якщо b(5)  = 128; q = 2.

7. Знайдіть суму чотирьох перших членів арифметичної прогресії:  -20; 50; 120; ... .

8. Знайдіть суму чотирьох перших членів геометричної прогресії -0,2; -0,6; -1,8; ... .

9. Знайдіть суму нескінчен­ної     геометричної     прогресії  5 + 0,5 + 0,11+ ….+ 0,111111 + ...

10. При  якому  значенні  m числа m;   m + 5;   m+15  є   послідовни­ми членами геометричної про­гресії?

11. Доведіть, що послідовність сум внутрішніх кутів трикутника, опуклого чотирикутника, опуклого п'ятикутника, опуклого  шестикутника  і т.д. утворює арифметичну прогресію. Чому дорівнює її різниця?

12. При вільному падінні тіло проходить за першу секунду 4,9 м, а в кожну наступну на 9,8 м більше. Знайдіть глибину шахти, якщо тіло досягло її дна через 5 с після початку падіння.

Варіант  5

1. В геометричній прогресії b(n), перший член b₂ = 5, знаменник q = -1. Знайдіть b₅.

2. В геометричній прогресії b(n), перший член b₃ = -8, знаменник q = -4. Знайдіть b₇.

3. Запишіть формулу n-го члена гео­метричної прогресії b(n), якщо b₁= -1, q = -0,2.

4. Знайдіть b₈ в геометричній про­гресії b(n), якщо b₁ = 1024, q = 0,5.

5. Знайдіть суму усіх чле­нів геометричної прогресії :  3 + 0,3 + 0,33+ ….+ 0,333333 + ...

6. Кулі розташовано у формі трикутника так, що в першому ряді 1 куля, у другому - 2, і т.д. У скільки рядів розміщено кулі, якщо їх кількість дорівнює 120? Яка кількість куль, необхідна, щоб скласти трикутник з 30 рядів?

7. В амфітеатрі концертної зали 15 рядів, і кількість крісел у кожному ряді збільшується на 2 в порівнянні а попереднім. В останньому ряді 15 крісел. Скільки крісел у першому ряді? Скільки всього крісел в амфітеатрі?

8. Ігор розпочав ранкові пробіжки з 2 км в день. Кожен тиждень він вирішив збільшувати цю дистанцію так, щоб в одинадцятий тиждень пробігати 4 км  в день. На яку відстань йому потрібно збільшувати дистанцію щотижнево? Скільки всього кілометрів він пробіжить за 11 тижнів?

9. Преміальний фонд 10000 грн нотрібно поділити між 10 співробітниками так, щоб кожен наступний отримав на 150 грн більше від попереднього. Як це зробити?

10. Вклад, внесений до банку, щорічно збільшується на 30% (у 1,3 разу). Яким буде вклад через 3 роки, якщо спочатку він дорівнював 800 грн?

11. Листоноша помітив, що за 5 днів до свята кількість листів, що він розносить, збільшується щоденно в 1,5 разу. Скільки всього листів рознесе листоноша за 5 передсвят­кових днів, якщо в перший з них він розніс 4 листи?

12. При поступанні на роботу майбутній співробітник був ознайомлений з умовами оплати: в перший рік його річний заробіток становитиме 2000 грн, а потім у кожен наступний рік буде збільшуватись у 1,2 разу в порівнянні з попереднім. Співробітник планує працювати на цьому місці не менше ніж 10 років. Скільки він заробить за цей час?

Варіант 6

1. В геометричній прогресії b(n), перший член b(2)  =1, знаменник q = -4. Знайдіть b(4).

2. В геометричній прогресії b(n), перший член b(3)  = 7, знаменник q = -1. Знайдіть b(6).

3. Запишіть формулу n-го члена гео­метричної прогресії b(n), якщо b(1) =2, q = -1,5.

4. Знайдіть b₄ в геометричній про­гресії b(n), якщо b(1) = 1, q = -0,5.

5.Знайдіть суму п'яти перших членів геометричної прогресії: 4; 8; ... .

6. Знайдіть суму усіх чле­нів геометричної прогресії :  2 + 0,2 + 0,22+ ….+ 0,222222 + ...

7. Знайдіть суму чисел: а)1 + 2 + 4 + ... + 64;   б) 1 + 3 + 9 + ... + 243.

8. Запишіть число 1,(3) у вигляді  суми нескінченої прогресії і приведіть її до  дробу.   

9. Знайдіть суму перших десяти  степенів двійки: 2; 4; 8; … .

10. Тіло, що вільно падає (опором повітря знехтувати), за першу секунду падіння пролітає 4,9 м, а за кожну наступну - на 9,8 м більше, ніж за попередню. Який шлях пролетить тіло за шосту секунду падіння? 

11. За першу годину або її частину за прокат човна беруть 80 коп. Кожна наступна година прокату або її частина коштує 60 коп. Василь узяв човна о 9 год 40 хв, а повернув о 13год 15 хв  того самого дня. Скільки Василь заплатив за човен?

12. У кінотеатрі у кожному наступному ряді на 4 місця більше, ніж у попередньому, а всього місць у залі 1050.  Скільки рядів у кінотеатрі, якщо у першому ряді 10 місць?

Варіант 7

1. В геометричній прогресії b(n), перший член b₂ =3, знаменник q = -1. Знайдіть b₅.

2. В геометричній прогресії b(n), перший член b₃ = -4, знаменник q = -3. Знайдіть b₇.

3. Запишіть формулу n-го члена гео­метричної прогресії b(n), якщо b₁= -1, q = -0,5.

4. Знайдіть b₄ в геометричній про­гресії b(n), якщо b₁ = 128, q = 0,5.

5.Знайдіть суму шести  перших членів геометричної прогресії: 9; 18; ... .

6. Знайдіть суму усіх чле­нів геометричної прогресії :  3 + 0,3 + 0,33+ ….+ 0,333333 + ...

7. Знайдіть суму чисел: а)1 + 2 + 4 + ... + 64;   б) 1 + 3 + 9 + ... + 243.

8. Запишіть число 1,(2) у вигляді  суми нескінченої прогресії і приведіть її до  дробу.   

9. Знайдіть суму перших десяти  степенів трійки: 3; 9; 27; … .

10. Телефоністка має доручення передати важливу інформацію трьом іншим теле­фоністкам. Кожна з них у свою чергу повинна передати інформацію трьом іншим теле­фоністкам і т.д. На виконання доручення у кожної телефоністки йде 6 хв. Скільки телефоністок будуть знати інформацію через півгодини?

11. Зниження собівартості товару становить 10% на рік (в 0,9 разу). Початкова собівартість дорівнює 800 гривень. Якою стане собівартість товару через 3 роки?

12. Чи може три числа бути членами деякої  арифметичної і членами деякої геометричної прогресій?