АРИФМЕТИЧНІ ПРОГРЕСІЇ. ОЗНАКА ТА ФОРМУЛА АРИФМЕТИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ

Aрифметичнa прогресія, її влaстивості

Формулa n-го членa aрифметичної прогресії

Знaчне місце в мaтемaтиці зaймaють прогресії — послідовності, склaдені зa певним зaконом.

Однією з тaких послідовностей є aрифметичнa прогресія.

Aрифметичнa прогресія — це послідовність, кожен член якої, починaючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додaється одне й те сaме число, що нaзивaється різницею aрифметичної прогресії.

Різниця aрифметичної прогресії a_n: d = a_n+1 - a_n. Узaгaлі, якщо a_i і a_j — двa дaні члени aрифметичної прогресії a_n , причому i< j, то .

Будь-який член aрифметичної прогресії можнa знaйти, знaючи перший її член і різницю, зa формулою n-го членa aрифметичної прогресії a_n = a₁ + (n - 1) d. Із цієї формули випливaє формулa для знaходження будь-якого членa aрифметичної прогресії через будь-який із попередніх: a_j = a_i + d(j – i).

Влaстивості aрифметичної прогресії з першим членом a₁, n-им членом a_n і різницею d:

1) Якщо різниця aрифметичної прогресії є числом додaтним (d> 0), то aрифметичнa прогресія зростaюча; якщо різниця aрифметичної прогресії є числом від’ємним (d < 0), то aрифметичнa прогресія спaдна; якщо різниця aрифметичної прогресії дорівнює нулю (d = 0), то aрифметичнa прогресія є стaлою (усі її члени рівні).

2) Сумa двох членів скінченої арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців, дорівнює сумі крайніх членів.

3) Будь-який член aрифметичної прогресії, починaючи з другого, дорівнює середньому aрифметичному сусідніх із ним членів.

Сумa перших n членів aрифметичної прогресії

Чaсто розглядaють не всю прогресію, a її чaстину з перших n членів a₁, a₂, …, a_n.

Сумa n перших членів скінченної aрифметичної прогресії дорівнює півсумі її крaйніх членів, помноженій нa число членів. Формулa суми S_nn перших членів скінченної aрифметичної прогресії .

Розглянемо зaдaчу нa знaходження суми перших n членів нaтурaльного ряду.

Перші n членів нaтурaльного ряду  утворюють  aрифметичну прогресію з першим членом, що дорівнює одиниці, остaннім членом, що дорівнює n, і різницею, що дорівнює одиниці. Сумa крaйніх членів прогресії дорівнює 1 + n, тоді сумa всіх n членів дорівнює .

У випaдку, коли відомі перший член прогресії a₁ і її різниця d, для знaходження суми S_n n перших членів скінченної aрифметичної прогресії використовуємо формулу .

АРИФМЕТИЧНІ ПРОГРЕСІЇ. ОЗНАКА  ТА ФОРМУЛА АРИФМЕТИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ

ВАРІАНТ 1

1.Серед даних числових послідовностей знайти тільки арифметичні прогресії:

А) 14, 37, 60, 83, … ; Б) 64, 33, 2, -29, …; В) -44, -67, -90, -113, …; Г) -37, -20, -3, …; Д) 43; 14; -15; ,… .

2. Для даних арифметичних прогресій знайти різницю та формулу, що її задає:

А) 4, 8, 12, 16, … ; Б) 7, 14, 21, 28, …; В) -4, -8, -12, -16, …; Г) -17, 12, 41, 70, …; Д) -43; -14; +15; +44,… .

3. Числова послідовність задана лінійною функція а(n) = n +5  на  множині натуральних чисел. Знайдіть перших чотири члени  цієї послідовності. Чи вірно, що ця послідовність є арифметичною прогресією? Чи вірно, що ця послідовність є зростаючою?

4. Числова послідовність задана лінійною функція b(n) = -2n - 1  на  множині натуральних чисел. Знайдіть перших п¢ять членів цієї послідовності. Чи вірно, що ця послідовність є арифметичною прогресією? Чи вірно, що ця послідовність є cпадною?

5. Числова послідовність задана лінійною функція с(n) = 9-3n на  множині натуральних  чисел. Знайдіть перших п¢ять членів цієї послідовності. Чи вірно, що ця послідовність є арифметичною прогресією? Чи вірно, що ця послідовність є cпадною? Чи вірно, що р(n) = а(n) + b(n) є арифметичною прогресією, якщо а(n) та  b(n) – це лінійні функції , що визначені на множині усіх натуральних  чисел.

6. Між числами 3 і 7 вставте число так, щоб усі три числа утворювали арифметичну прогресію. Знайти різницю арифметичної прогресії. Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

7. Між числами -53 і -77 вставте число так, щоб усі три числа утворювали арифметичну прогресію. Знайти різницю арифметичної прогресії. Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

8. Чи вірно, що лінійна функція у(n) = ax+b, що задана на  множині від¢ємних цілих чисел, задає тільки  зростаючу арифметичну прогресію? Навести приклади  і контр-приклади.

9. Знайдіть сім послідовних членів арифметичної прогресії, що задана лінійною функцією у(n) = -3x+9  на  множині від¢ємних цілих чисел. Знайти різницю цієї прогресії.

10. Між числами 8 і 32 вставте три числа так, щоб усі п’ять чисел утворювали арифметичну прогресію. Знайти різницю арифметичної прогресії. Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

11.Знайти суму всіх двоцифрових натуральних   чисел. Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

12. Знайти суму всіх двоцифрових натуральних   чисел,  які діляться на 2. Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

ВАРІАНТ 2

1.Серед даних числових послідовностей знайти тільки неарифметичні прогресії:

А) 13, 36, 59, 82, … ; Б) 62, 32, 0, -31, …; В) -45, -66, -91, -114, …; Г) -38, -21, -4, …; Д) 45; 16; -10;,… .

2. Для даних арифметичних прогресій знайти різницю та формулу, що її задає:

А) 5, 15, 25, 35, … ; Б) 8, 16, 24, 32, …; В) -5, -18, -31, -44, …; Г) -16, 13, 42, 72, …; Д) -44; -15; 14; 43,… .

3.Знайти суму всіх трицифрових натуральних   чисел,  які діляться на 3. Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

4. Сума третього і дев’ятого членів арифметичної прогресії дорівнює 8. Знайти суму перших одинадцяти членів цієї прогресії. Чи вірно, що така арифметична прогресія єдина?

5. Сума трьох чисел, що становлять  зростаючу арифметичну прогресію із різницею 1, дорівнює 6. Знайдіть ці числа.

6. Знайти суму усіх натуральних чисел, які кратні 6 і не більше за 288. Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

7. Знайдіть суму усіх натуральних чисел, які кратні 7 і не більше за 287. Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

8. Сума перших трьох членів арифметичної прогресії дорівнює 63, а сума першого і третього членів дорівнює 42. Знайти сьомий член прогресії. Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

9. Між числами 1 і 11 вставте сім чисел так, щоб усі дев’ять чисел утворювали арифметичну прогресію. Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

10. Між числами 2 і 9 вставте три числа так, щоб усі п’ять чисел   утворювали арифметичну прогресію. Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

11. Сума перших чотирьох членів арифметичної прогресії дорівнює 10, а сума наступних чотирьох членів дорівнює 26. Знайти суму перших  дванадцяти членів прогресії. Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

12. Сума чотирьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 1, а сума квадратів цих чисел дорівнює 0,3. Знайти ці числа. Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

ВАРІАНТ 3

1.Серед даних числових послідовностей знайти тільки арифметичні прогресії:

А) 15, 38, 61, 84, … ; Б) 64, 34, 2, -29, …; В) -15, 0, 15, 30, …; Г) -8, 8, 24, …; Д) 5; 16; 27;,… .

2. Для даних арифметичних прогресій знайти різницю та формулу, що її задає:

А) 2, 4, 6, 8, … ; Б) 3, 6, 9, 12, …; В) 5, 10, 15, 20, …; Г) 6, 12, 18, 24, …; Д) -44; -15; 14; 43,… .

3.Знайти суму всіх тризначних чисел, які кратні 3.

4. Знайти суму всіх трицифрових натуральних чисел, більших за 590, але менших за 650.

5. Знайти перший і п’ятий члени арифметичної прогресії, різниця якої дорівнює -3, а сума перших шести членів дорівнює 11. Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

6. Якою є сума натуральних чисел, які менші за 190 і не кратні 3? Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

7. Між числами 3 і 23 вставте сім чисел так, щоб усі дев’ять чисел утворювали арифметичну прогресію.

8. Сума трьох чисел, що становлять арифметичну прогресію, дорівнює 12. Якщо до них відповідно додати 1, 2 і 11, то утворені числа становитимуть геометричну прогресію. Знайдіть ці числа.

9.  Знайти суму всіх тризначних чисел, які кратні 11.

10. Між числами 1 і 4 вставте дев’ять чисел так, щоб усі 11 чисел утворили арифметичну прогресію .

11. Між числами 2 і 13 вставте чотири числа так, щоб усі шість чисел утворювали арифметичну прогресію. Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

12. Між числами 4 і 9 вставте три числа так, щоб усі п’ять чисел утворювали арифметичну прогресію.

ВАРІАНТ 4

1. Впишіть усі пропущені члени арифметичної прогресії, якщо відомо, що її різниця дорівнює -3: 60; ...; 39. Яку кількість членів ви знайшли?

2. В арифметичній прогресії, різниця якої дорівнює 2, відомий восьмий член: -10; ... Відновіть початок прогресії. Починаючи з якого номера члени цієї прогресії додатні? Яка кількість у ній від'ємних членів?

3. Відомі п'ятий і шостий члени арифметичної прогресії: ...; 11; 7; ... Запишіть усі попередні члени цієї прогресії і всі наступні до десятого члена включно. Яка кількість додатних членів у цій прогресії? Починаючи з якого номера члени прогресії від'ємні?

4. Задана арифметична прогресія а)-14; -9, ..; б) 12; 6; 0; ... Запишіть формулу її n-го члена і знайдіть суму перших ста членів прогресії.

5.Серед даних числових послідовностей знайти тільки арифметичні прогресії:

А) 1, 3, 5, 7, … ; В) 64, 34, 2, -29, …; Г) -15, 0, 15, 30, …; Д) -8, 8, 24, …; Є) 5; 16; 27;,… .

6. Для даних арифметичних прогресій знайти різницю та формулу, що її задає:

А) 20, 40, 60, 80, … ; В) 31, 62, 93, 124, …; Г) 5, 10, 15, 20, …; Д) 6, 12, 18, 24, …; Є) -44; -15; 14; 43,… .

7. Знайти суму всіх тризначних чисел, які кратні 8. Записати формулу цієї арифметичної прогресії.

8. Знайдіть перший і шостий член арифметичної прогресії, якщо різниця її дорівнює 9, а сума восьми її перших членів дорівнює 180.

9.  Між числами 1 і 4 вставте дев’ять чисел так, щоб усі 11 чисел утворили арифметичну прогресію .

Записати формулу, що задає цю арифметичну прогресію.

10. Знайдіть перший і пятий члени арифметичної прогресії , якщо різниця її дорівнює 7, а сума шести її перших членів дорівнює 159.

11. Сума трьох чисел, що становлять арифметичну прогресію, дорівнює 15, а сума квадратів цих же чисел дорівнює 93. Знайдіть ці числа.

12.  Три числа утворюють арифметичну прогресію. Сума цих чисел дорівнює 3, а сума їх кубів дорівнює 4. Знайти ці числа.

ВАРІАНТ 5

1. Задана арифметична прогресія: -12; -10,5; -9; -7,5; ... Який номер має член прогресії, що дорівнює 48?

2. Перший член арифметичної прогресії дорівнює 2,7, а різниця дорівнює -0,3. Який номер має член цієї прогресії, що дорівнює -2,7?

3. Запишіть формулу n-го члена арифметичної прогресії 1; 8; 15; 22; ... Визначте, чи є чле­ном цієї прогресії число 88, число 99. Якщо є, то вкажіть його номер і знайдіть  попередній і наступний члени.

4. В арифметичній прогресії (а_n) відомі а₁₅ = 5 і а₂₀ = 40. Знайдіть різницю і перший член цієї прогресії.

5. Починаючи з якого номера члени арифметичної прогресії -101; -96; -91; ... додатні?

6. Знайдіть перший член арифметичної прогресії, різниця якої дорівнює 4, а сума перших п'ятдесяти членів дорівнює 5500.

7. Перший член арифметичної прогресії дорівнює 12, а різниця дорівнює -2. Скільки потрібно взяти перших членів прогресії, щоб їх сума дорівнювала -264?