9 клас. Алгебра. Дистанційне навчання.: Числові нерівності

Числові нерівності

У математиці часто доводиться порівнювати числа. Це роблять за такимиправилами:

1) Число а більше від числаb, якщо різниця a – b є додатним числом; записують — a > b.

2) Число а менше від числаb, якщо різниця a – b є від’ємним числом; записують — a > b.

3) Число а дорівнює числу b, якщо різниця a – b дорівнює нулю; записують a = b.

При цьому для довільних дійсних чисел а і b виконується тільки одне з цих трьох співвідношень, бо різниця може бути або додатною, або від’ємною, або дорівнювати нулю.

Якщо числа не рівні, то результат порівняння чисел записують за допомогою числових нерівностей. При цьому використовують знаки нерівностей:

· > ― «більше»;

· < ― «менше»;

· ≤ — «менше або дорівнює»;

· ≥ — «більше або дорівнює».

Два вирази, поєднані знаком нерівності, утворюють нерівність. Нерівність — одне з основних понять математики.

Вираз ліворуч від знака нерівності називається лівою частиною нерівності, а вираз праворуч від знака нерівності —правою частиною нерівності.

Якщо при підстановці деякого числа замість змінної нерівність зі змінною перетворюється на правильну числову нерівність, то говорять, що це число задовольняє дану нерівність.

Якщо при підстановці деякого числа замість змінної нерівність зі змінною перетворюється на неправильну числову нерівність, то говорять, що це число не задовольняє дану нерівність.

Запам’ятайте!

Щоб порівняти два числа, необхідно знайти різницю цих чисел. Якщо різниця буде додатною, то більшим є зменшуване; якщо різниця буде від’ємною, то більшим буде від’ємник; якщо різниця дорівнює нулю, то числа рівні.

Означення, зображення та позначення числового проміжку.

Позначимо на координатній прямій точки із координатами 1 і 4 (мал. 3). Якщо точка розташована між ними, то їй відповідає число, яке більше 1, але менше 4. Вірне і обернене: якщо число х задовольняє умову 1 < x < 4 , то воно зображується точкою, що лежить між точками з координатами 1 і 4. Множину всіх чисел, що задовольняють умову 1 < х < 4 , позначають числовим проміжком від 1 до 4. позначають його так (1; 4). Цей проміжок зображено на малюнку 4.

bbsp;

На малюнку 5 зображено множину точок, що задовольняє умову 2 ≤ х ≤ 7 . Позначають його так [2; 7].

Дано таблицю, в якій відображено відповідність між умовою, зображенням на малюнку та позначенням.

№

Умова

Зображення на малюнку

Позначення

1

х < а

(-∞ ; а)

2

х ≤ а

(-∞ ; а]

3

х > а

(а; +∞)

4

х ≥ а

[а;+∞)

5

а < х < b

(а; b)

6

а ≤ х < b

[а; b)

7

а < х ≤ b

(а; b]

8

а ≤ х ≤ b

[а; b]

Переріз та об’єднання числових проміжків.

Перерізом числових проміжків називають множину, що складається з чисел, які належать кожному з цих проміжків.

Знак ∩- знак перерізу.

Наприклад,  (ілюстрація на малюнку 6), а  (ілюстрація на малюнку 7).

Об’єднанням числових проміжків називають множину, що складається з чисел, які належать хоча б одному з проміжків.

Знак  - знак об’єднання.

Наприклад,  (мал. 6). Зауважимо, що об’єднання проміжків не завжди є проміжком. Наприклад, множина  не є проміжком (мал. 7).

Завдання.

1. Вказати три довільні розв’язки (x;y) нерівності:
а) х + у >3;       х - у > -4;     х + у < -2;      -х + у >5;        х - у >7;      х - у >2;         х + у >1;      х+у > 2;
б) х - у < -5;      х - у < -1;     х -у > -4;       -х + у <-5;        х - у < -8;    х - у < -7;      х - у <-9;      х-у < -4.
2. Довести нерівність способом виділення двох повних квадратів:
А) 5х² – 4х - 2ху + 3 > 0;                  10х² – 6х - 4ху + 7 > 0;                           2х² – 2х − 6ху + 11 > 0. 3. Довести способом порівняння різниці виразів з нулем, що для будь-яких чисел: a³b + ab³< a⁴ + b⁴ ;

m⁵n + mn⁵< m⁶+ n⁶ ;

a⁷b + ab⁷< a⁸ + b⁸

4. Розв’язати нерівності і дати точну відповідь на запитання:

а) Які невідʼємні числа належать до розвʼязків даних нерівностей?

б) Які цілі числа із проміжку çх ç≤ 2 належать до розвʼязків даних нерівностей?

Рівень А1

1. ‒ х ≤ ‒7; 2. ‒ 5х ≥ 0; 3. 4х ≥ ‒ 1; 4. ‒ 2:х < ‒1,2;

5. ‒26 ≤ ‒2х < 10; 6. ‒ 80 < 4:х ≤ 16; 7. 0 ≤ ‒8:х ≤ 10;

8. ‒ 5(0,5 ‒ х) ≥ 0; 9. 2,5(х + 30) < 0; 10. 4:(х ‒ 10) ≤ ‒ 8.

Рівень А2

1. 4 ‒ 2х ≤ ‒4; 2. 3 ‒ х > 0; 3. 3х +5 ≥ ‒ 1; 4. 1 ‒ 6:х < ‒1,2;

5. ‒6 ≤ ‒3х < 18; 6. ‒ 80 < 5х ≤ 65; 7. 0 ≤ ‒4:х ≤ 19;

8. ‒ 3(1,5 ‒ х) ≥ 0; 9. 4,5(х + 10) > 45; 10. 5:( ‒х ‒ 1,7) ≤ ‒ 8.

11. ‒ 3/(15 ‒ 6х) ≥ 0; 12. 5/(х + 35) > 25; 13. 4/(х ‒ 1,7) ≤ ‒ 8.

Рівень А3

1. çх ç≥ 1; 2. çх ç≤ 0. 3. çх ç≤ 4; 4. çх ç< ‒ 2; 5. çх ç> ‒ 4;

6. 2 ≤ çх ç≤ 3; 7. 8 ≤ 4:çх ç≤ 64; 8. 20 ≤ 4çх ç+10 ≤ 50;

9. 2,5çх ç + 30 > 0; 10. 2:çх ç +10 ≤ - 6; 11. -4 ≤ ‒ 4çх ç +10 ≤ 6.

Рівень А4

1. ‒ x²< 0; 2. - x² ≤ 0,16; 3. ‒ x²≥ 2,5; 4. x²≥ ‒1; 5. ‒ x²≤ 0,36;

6. ‒ 9x²+ 6x ‒1 > 0; 7. x³‒ 5x + 6х² < 0; 8. x⁴‒ 12x² + 35x⁶ ≥ 0;

9. x³ ‒ x²+ x - 1 ≤ 0; 10. x³ ‒ 2x²+ x ≥ 2; 11. 1:(x⁴‒ 2x²)≤ 1:144.

Рівень А5

1. ‒3 < x²+ 4x ‒ 5 ≤ 5; 2. ‒1 ≤ x²+ 6x + 9 < 7;

3. ‒5 ≤ ‒x²+ 7x ‒ 6 ≤ 5; 4. ‒2 < ‒ x²+ 8x ‒16 ≤ 4;

5. ‒ 8 ≤ (4‒ x)/(2‒x) ≤ 0; 6. 0 ≤ (x+1)/ (1‒х) < 5;

7. 0 ≤ (x-3)/ (x²+4x‒5) ≤ 2; 8. ‒1 ≤(x+4)/( x²+6x+9) ≤ 0;

9. 1/(x + 1) + 2/(x + 3) > 3/(x + 2);

10. 1/(x + 1) ‒2/(x²‒ x +3)< 1/(x³+ 1).

Рівень А6

1. 1/(3x-2-x²) ‒ 3/(7x-4-3x²) >0; 2. (2‒ x)/(x³‒ x²) > (1‒2x/(x³‒ x);

3. x²‒ 4x ‒ 2|x-2| + 1 ≤ 0; 4. x²+ 6x ‒ 4|x + 3|‒ 12 > 0;

5. x²‒ 5x + 9 >|x ‒ 6|; 6. |x²‒ 6x + 8|< 5x ‒ x².

Рівень А7

1. |x+1|‒|x-1| > x; 2. |x+2|+|2x-3| ≥ x+3;

3. 0 <|2-x|+2|x+2|≤ 2; 4. 2 <|x|+|x+2|< 6;

5. ||x-1|-5|≤ 2; 6.|3-|x-2|| ≤ 1;

7. |x-1|-2|x-2|+3|x-3|≤ 4; 8. |1-2x|<|3x+1|;

9. |1-4x|≥|2x+3|; 10. |x+4/x+2|≤ 1; 11. |2x-1|/|x-1|>2;

12. |x+3|+x/(x+2) > 1; 13. |x+2|‒ x/x < 2;

14. x -|x - 4|:2 -|6-x|> 2; 15. |x-1|- 2/|x+3|+ x > 1;

16. |x²- 5x+4/x²-4| ≤ 1; 17. |x+2|/|x-3|+ |x-3|/|2+x|< 9;

18. |(x²- 3x+2)/(x²+3x+2)| > 1; 19. |x²- 2x|+ 4/x²+|x+2| ≥ 1;

20. |x²- 4x|+ 3/x²+|x - 5| ≥ 1.

Контрольний зріз

Варіант 1

Завдання 1-6 мають по чотири варіанти відповіді, з яких тільки одна відповідь правильна.

1.(1 бал). Відомо, що 1 ≤ х ≤ 2; 3 ≤ у ≤ 4. Знайти значення виразу х + у.

А) 4 < х + у < 6; Б) 4 > х + у > 6; В) 4 ≥ х + у ≥ 6; Г) 4 ≤ х + у ≤ 6.

2.(1 бал). Відомо, що y ≤ х. Знайдіть правильну нерівність:

А) - y ≥ - х; Б) - х < у; В) х ≤ - у ; Г) 5y ≤ - 5х.

3. (1 бал). Розв’язати нерівність 2х + 4 ³ 8.

А) х ≥ 2; Б) х ≤ - 2; В) х ≥ 6; Г) х ≤ - 2.

4.(1 бал). Встановити відповідність між формулою, що задає функцію

у = х²- 2х +1, та її правильною назвою графіка.

А) парабола з вітками вниз; Б) парабола з вітками вгору;

В) парабола з вітками вліво; Г) парабола з вітками вправо.

5.(1 бал). Знайти точку перетину графіка функції у = -3х²- 2х -1 з віссю ординат.

А) (0; 1); Б) (0; -3); В) (0; -2); Г) (0; -1).

6.(1 бал). Знайти точки перетину графіка функції у = -х²- 2х -1 з віссю абсцис.

А) (-1; 0); Б) (0; -3); В) (0; -2); Г) (0; 1).

У завданнях 7-8 треба встановити відповідність.

7.(1 бал). Встановити відповідність між формулами, що задають функції, та точками, що належать їх графіку.

1.	у = - 8х -6;	А.	(0; -3);		1	2	3	4
2.	у = -х²- 4х -3;	Б.	(0; -6);	А
3.	у = ;	В.	(4; -0,5);	Б
4.	у = .	Г.	(-1; 7);	В
		Д	(4; 0).	Г
				Д

8.(1 бал). Встановити відповідність між формулами, що задають квадратичні функції та координатами вершини параболи.

1.	у = х² - 6х + 8;	А.	(2; 1);		1	2	3	4
2.	у = - х²+4х - 3;	Б.	(3; -1);	А
3.	у = -х²-6х -5;	В.	(-3; 4);	Б
4.	у = -х² -2;	Г.	(0; -2);	В
		Д.	(0; 2);	Г
				Д

У завданнях 9-10 треба записати повне розв’язання .

9.(2 бал). Дослідити функцію у = х² - 6х +5 на властивості та побудувати її графік.

10.(2 бал). Два робітники, працюючи разом, можуть виконати виробниче завдання за 4 днів. За скільки днів може виконати це завдання кожен з них, працюючи самостійно, якщо одному для цього потрібно на 6 днів більше, ніж другому?

Алгебра 9 клас. Контрольний зріз

Варіант 2

Завдання 1-6 мають по чотири варіанти відповіді, з яких тільки одна відповідь правильна.

1. (1 бал). Відомо, що 2 ≤ х ≤ 3; 4 ≤ у ≤ 5. Знайти значення виразу х + у.

А) 6 ≤ х + у ≤ 8. Б) 6 ≥ х + у ≥ 8. В)- 6 ≥ х + у ≥- 8; Г) 2 ≤ х + у ≤ 5.

2.(1 бал). Відомо, що z ≤ х. Знайдіть правильну нерівність:

А) - z ≥ - х; Б) - х < z; В) х ≤ - z ; Г) 2z ≤ - 2х.

3. (1 бал). Розв’язати нерівність 4х + 4 ³ 8.

А) х ≥ 1; Б) х ≤ - 2; В) х ≥ 6; Г) х ≤ - 2.

4.(1 бал). Встановити відповідність між формулою, що задає функцію

у = - х²- 4х - 4, та її правильною назвою графіка.

А) парабола з вітками вниз; Б) парабола з вітками вгору;

В) парабола з вітками вліво; Г) парабола з вітками вправо.

5.(1 бал). Знайти точку перетину графіка функції у = -3х²- 2х - 2з віссю ординат.

А) (0; 1); Б) (0; -3); В) (0; -2); Г) (0; -1).

6.(1 бал). Знайти точки перетину графіка функції у = -х²- 4х -4 з віссю абсцис.

А) (0; -1); Б) (0; 2); В) (-2; 0); Г) (0; 1).

У завданнях 7-8 треба встановити відповідність.

7.(1 бал). Встановити відповідність між формулами, що задають функції, та точками, що належать їх графіку.

1.	у = - 2х -4;	А.	(0; -5);		1	2	3	4
2.	у = -х²- 4х -5;	Б.	(0; -4);	А
3.	у = ;	В.	(5; -0,5);	Б
4.	у = .	Г.	(-1; 8);	В
		Д	(5; 0).	Г
				Д

1.	у = х² - 4х - 8;	А.	(1; -14);		1	2	3	4
2.	у = - х²+2х - 15;	Б.	(1; -13);	А
3.	у = х²+ 6х +5;	В.	(-3; -4);	Б
4.	у = -х² -3;	Г.	(0; -3);	В
		Д.	(0; 3);	Г
				Д

У завданнях 9-10 треба записати повне розв’язання .

9.(2 бал). Дослідити функцію у = х² - 4х - 5 на властивості та побудувати її графік.

10.(2 бал). Два робітники, працюючи разом , можуть виконати завдання за 6 год. Один з них, працюючи окремо , може виконати завдання на 16 год раніше, ніж другий. За скільки годин може виконати завдання кожен робітник окремо?

Алгебра 9 клас. Контрольний зріз

Варіант 3

Завдання 1-6 мають по чотири варіанти відповіді, з яких тільки одна відповідь правильна.

1. Відомо, що 3 ≤ х ≤ 4; 5 ≤ у ≤ 6. Знайти значення виразу х + у.

А) 8 < х + у < 10; Б) 8 > х + у > 10; В) 8 ≥ х + у ≥ 10; Г) 8 ≤ х + у ≤ 10.

2.(1 бал). Відомо, що x ≤ z. Знайдіть правильну нерівність:

А) - z ≥ - х; Б) - х < z; В) х ≤ - z; Г) 3z ≤ - 3х.

3. (1 бал). Розв’язати нерівність 2х + 6 ³ 8.

А) х ≥ 1; Б) х ≤ - 2; В) х ≥ 6; Г) х ≤ 7.

4.(1 бал). Встановити відповідність між формулою, що задає функцію

у = х²- 6х +9, та її правильною назвою графіка.

А) парабола з вітками вниз; Б) парабола з вітками вгору;

В) парабола з вітками вліво; Г) парабола з вітками вправо.

5.(1 бал). Знайти точку перетину графіка функції у = -3х²- 2х -5 з віссю ординат.

А) (0; 1); Б) (0; -3); В) (0; -2); Г) (0; -5).

6.(1 бал). Знайти точки перетину графіка функції у = -х²- 6х -9 з віссю абсцис.

А) (-3; 0); Б) (0; -3); В) (0; -2); Г) (0; 1).

У завданнях 7-8 треба встановити відповідність.

7.(1 бал). Встановити відповідність між формулами, що задають функції, та точками, що належать їх графіку.

1.	у = - 8х -2;	А.	(0; -4);		1	2	3	4
2.	у = -х²- 4х -4;	Б.	(0; -2);	А
3.	у = ;	В.	(7; -0,5);	Б
4.	у = .	Г.	(-1; 9);	В
		Д	(7; 0).	Г
				Д

1.	у = х² - 2х - 24;	А.	(-1; 4);		1	2	3	4
2.	у = - х²-2х +3;	Б.	(3; -25);	А
3.	у = -х²-6х -5;	В.	(-3; 4);	Б
4.	у = -х² -9;	Г.	(0; -9);	В
		Д.	(0; 9);	Г
				Д

У завданнях 9-10 треба записати повне розв’язання .

9.(2 бал). Дослідити функцію у = - х² - 2х +3 на властивості та побудувати її графік.

10.(2 бал). Два робітники, працюючи разом, можуть виконати виробниче завдання за 3 днів. За скільки днів може виконати це завдання кожен з них, працюючи самостійно, якщо одному для цього потрібно на 8 днів більше, ніж другому?

Aлгебра 9 клас. Контрольний зріз.

Варіант 4

Завдання 1-6 мають по чотири варіанти відповіді, з яких тільки одна відповідь правильна.

1. (1 бал). Відомо, що 4 ≤ х ≤ 5; 6 ≤ у ≤ 7. Знайти значення виразу х + у.

А) 10 < х + у < 12; Б) 10 > х + у > 12; В) 10 ≥ х + у ≥ 12; Г) 10 ≤ х + у ≤ 12.

2.(1 бал). Відомо, що y ≤ z. Знайдіть правильну нерівність:

А) - y ≥ - z; Б) - z < у; В) z≤ - у ; Г) 5y ≤ - 5z.

3. (1 бал). Розв’язати нерівність 2х - 8 ³ 8.

А) х ≥ 8; Б) х ≤ - 2; В) х ≥ 6; Г) х ≤ - 2.

4.(1 бал). Встановити відповідність між формулою, що задає функцію

у = х²-+ 8х +16, та її правильною назвою графіка.

А) парабола з вітками вниз; Б) парабола з вітками вгору;

В) парабола з вітками вліво; Г) парабола з вітками вправо.

5.(1 бал). Знайти точку перетину графіка функції у = -3х²- 2х -4 з віссю ординат.

А) (0; 1); Б) (0; -3); В) (0; -2); Г) (0; - 4).

6.(1 бал). Знайти точки перетину графіка функції у = -х²- 8х -16 з віссю абсцис.

А) (-4; -0); Б) (0; -3); В) (0; -2); Г) (0; -4).

У завданнях 7-8 треба встановити відповідність.

7.(1 бал). Встановити відповідність між формулами, що задають функції, та точками, що належать їх графіку.

1.	у = - 8х -1;	А.	(0; -7);		1	2	3	4
2.	у = -х²- 4х -7;	Б.	(0; -1);	А
3.	у = ;	В.	(9; -0,5);	Б
4.	у = .	Г.	(-1; 2);	В
		Д	(9; 0).	Г
				Д

1.	у = 2х² - 4х + 8;	А.	(2; 1);		1	2	3	4
2.	у = - х²+4х - 3;	Б.	(1; 6);	А
3.	у = -х²-6х -5;	В.	(-3; 4);	Б
4.	у = -х² -8;	Г.	(0; -8);	В
		Д.	(0; 8);	Г
				Д

У завданнях 9-10 треба записати повне розв’язання .

9.(2 бал). Дослідити функцію у = -х² - 2х +3 на властивості та побудувати її графік.

10.(2 бал). Два робітники, працюючи разом, можуть виконати виробниче завдання за 2 днів. За скільки днів може виконати це завдання кожен з них, працюючи самостійно, якщо одному для цього потрібно на 3 днів більше, ніж другому?

9 клас. Алгебра. Дистанційне навчання.

пʼятниця, 13 червня 2014 р.